随笔分类 - MO
摘要：例1 给定正整数 \(n\ge 2\) 。求最小的正整数 \(m\) ，满足：对任意 \(m\) 个不被 \(n\) 整除的整数，总能从中选出一些数，使得它们的和是 \(n\) 的倍数，但不是 \(n^2\) 的倍数。 答案是 \(m=2n-1\) ， \(m=2n-2\) 存在反例 \(1,1,.
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摘要：Reim引理 如图，两圆交于 \(A,B\) 两点，若 \(CD,EF\) 是两圆的弦，满足 \(CAE,DBF\) 分别共线，则 \(CD//EF\) 逆定理：若 \(ABCD\) 共圆，\(E,F\) 分别在 \(CA,DB\) 的延长线上，并满足 \(EF//CD\) ，则 \(ABEF\)
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摘要：位似图形指的是两个相似并且对应边平行的图形，它们对应点连线交于一点，称为位似中心 位似具有以下三个性质： 两个图形相似 两图形对应点连线交于一点 两图形对应边平行 满足 \(3\) 则可判定为位似，当然圆之间的都是位似的。需要注意的是 \(1+2\) 并不能判定位似，只能在交于一点 \(O\) 后，
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摘要：CP4 反演与共轴圆系还是有很大关联的。我们说，共轴圆系反演后还是共轴圆系，理由如下： 对于有两个交点的共轴圆系，反演后的所有圆还是过这两个点（的对应点），所以还是共轴圆系 对于切于某点的共轴圆系，由反演的保相切，它们依旧相切与一点 对于无交点的共轴圆系，我们找到与它共轭的共轴圆系（回忆共轴圆系的知
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摘要：反演是一种几何变换。在给出它的具体变换前，需要明确几个概念： 直线是一种退化的圆，我们将直线与圆统称为广义圆 所有直线交于一个点，即无穷远点 \(P_\infty\) 需要指出的是，反演中所述的无穷远点只有一个，这与射影几何中无穷个的无穷远点有一定区别 上述的定义可以给出广义圆的相切与相交的定义，也
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摘要：三角形中的密克点 如图，\(D,E,F\) 在 \(BC,AC,AB\) 上，则 \((AEF),(BDF),(CDE)\) 交于一点（纯导角） 例1 如图， \(AD\) 是高， \(M,N\) 是中点， \(K=(BDM)\cap (CDN)\) ， \(P\) 在 \(BC\) 上，过 \(P
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摘要：等差幂线 \(AB\perp CD\iff AC^2-AD^2=BC^2-BD^2\) 圆幂 定义一个点关于 \(\odot O\) 的圆幂 \(\rho_o(A)=OA^2-R^2\) ： 若 \(A\) 在圆外， \(APQ\) 是 \(\odot O\) 的割线，则 \(AP\cdot AQ=
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摘要：想了解更多的看纯几何吧4684，这里只是简单介绍 高联如果考等角共轭点的鬼晦性质我直接紫砂了 等角线 称 \(AP,AQ\) 是关于 \(\angle BAC\) 的等角线，如果 \(\angle PAB=\angle QAC\) （完全四边形中的等角线）设 \(X=BQ\cap CP,Y=BP\c
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摘要：引理 \(13.1\) ： 取调和四边形 \(ABCD\) 对角线 \(BD\) 上一点 \(K\) ， \(KA,KC\) 与圆的交点为 \(S,T\) ，则 \(SBTD\) 也是调和四边形。 证明：我们只要证明 \(AT\cap CS\) 在 \(BD\) 上，这样，使用上一章的引理 \(9.
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摘要：让我们从基础概念开始。我们将要把欧式平面拓展为实射影平面。 我们约定平行线交于无穷远点。不同方向的平行线交于不同的无穷远点，所有无穷远点都在无穷远直线上 在这样的定义下，依然有两点确定一条直线。对于无穷远点，可以简单地理解为一个方向，将它与某个点相连，就是过这个点做某一个方向的直线。 对共线四点 \
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摘要：\(K\) 在 \(BC\) 上， \(M\) 是 \(BC\) 中点，满足 \(AK,AM\) 为等角线，则称 \(AK\) 为 \(\triangle ABC\) 的共轭中线 延长 \(AK\) 交 \(ABC\) 外接圆于点 \(D\) ，则得到调和四边形 \(ABCD\) 。调和四边形是指
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摘要：内心 1、三条角平分线 2、在 \(\odot M\) 上（鸡爪圆上） 3、\(AI\cdot IM=AM\cdot IK=2Rr\) ，即 \(OI^2=R^2-2Rr\) 4、\(\odot I\) 与 \(\odot I_A\) 关于点 \(A\) 位似，所以 \(D\) 的对径点 \(D'\
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摘要：外心 （这三条结论并不完全是平凡的） 1、 \(\angle BOC=2\angle A\) 2、 \(\angle CBO+\angle A=Rt \angle\) 3、 \(O\) 在三角形三边的中垂线上 例1 如图，\(\triangle ABC\) 内接于圆 \(O\) ，\(AD\perp
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摘要：UPD on 2025.7.8：更改了一些表述，修正了一些错误。 这篇笔记收录了一些比较难归类（我不会）的数论杂题。 例1 \(A\subset Z\) 是无限集，证明：存在 \(A\) 的 \(2p-2\) 元子集 \(B\) ，使得 \(B\) 中任 \(p\) 个元素的算术平均值不属于 \(A
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摘要：UPD on 2025.7.8 ：更改了一些表述，修正了一些错误 数论构造还是相当玄学的版块，经常出现什么都没学的萌新能做出来但是数论较好的人卡题的现象…… 其他的笔记已经记录了一些专题类的构造，这里更多是记录一些综合性的/莫名其妙的构造。 数论构造除了用其它定理（ \(CRT\) ，欧拉定理之类的
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摘要：UPD on 2025.7.11：更正了一些错误。 欧拉定理：对 \(\forall a,b\) 满足 \((a,b)=1\)， 有 \(a^{\varphi(b)}\equiv 1\: (mod ~b)\) 证明：由简化剩余系的基本性质易得 \(a_0a_1...a_{\varphi(m)-1}\
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摘要：CP3 众所周知的技巧：利用韦达定理构造多项式 例1 设 \(a,b,c,d,e,f\) 是正整数，使得 \(S=a+b+c+d+e+f\) 整除 \(ab+bc+ca-de-ef-df\) 和 \(abc+def\) ，求证： \(S\) 是合数。 假设 \(S\) 是素数，我们看到： \(a+b
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摘要：UPD on 2025.8.1：添加了介绍部分，修改了证明表述 前置知识：单位根 （为了偷懒，基本将所有的 \(\omega\) 都写成了 \(w\) ） CP1 定义数列 \(\{a_n\}\) 的普通母函数 \(G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\) ，指数型母函数 \(G(x)=
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摘要：UPD on 2025.7.30：补充说明 定理 \(1\) ：任何素数 \(p\equiv 1\:(mod~4)\) 可以表示为两个正整数的平方和。 证明：对这样的 \(p\) ，存在 \(t^2\equiv -1\:(mod~p)\) （其中 \(t=(\frac{p-1}2)!\) ），只要找
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摘要：UPD on 2025.7.30：补充了一些说明，使证明更加容易理解 下面给出了关于组合数素因子幂次的基本性质： （勒让德公式） \(v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty[\frac n{p^i}]\) 这里对 \(1-n\) 内 \(p\) 的倍数统计一次贡献，再对 \
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