随笔分类 - MO
摘要：UPD on 2025.7.31：修正了一些错误 通过 \(CRT\) ，同余等方法控制素因子幂次是一种重要的思想 CP1 下面例题中，关键是 \(v_p\) 的性质：\(v_p(a\pm b)\ge min(v_p(a),v_p(b))\) ，取等当且仅当 \(v_p(a)\ne v_p(b)\)
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摘要：UPD on 2025.7.30：修正了很多错误（我发现好多 \(p=2\) 的讨论都漏了！大家用二次剩余一定要小心 \(2\) ，很多结论对它无效） 二次剩余：若 \((m,n)=1,m>1\) ，满足 \(\exists x\in Z,x^2\equiv n\:(mod~m)\) ，则称 \(n
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摘要：UPD on 2025.8.6：补充说明 设 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) ，有如下常见的数论函数： \(\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d\) ，表示 \(n\) 的因子之和，另一个表达式是 \
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摘要：欧拉函数 \(\varphi (n)\) 是指区间 \([1,n)\) 内与 \(n\) 互素的数的个数 欧拉函数具有如下性质： \(\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n\) 最简单的想法是：将有理数 \(\frac 1n,\frac2n,\frac 3n,...,\f
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摘要：UPD on 2025.8.6：补充说明 数论函数：\(f:\mathbb{Z}^*\rightarrow C\) 积性函数：对任意 \((m,n)=1\) 满足 \(f(mn)=f(m)f(n)\) 的函数 完全积性函数：对任意 \(m,n\) 满足 \(f(mn)=f(m)f(n)\) 的函数
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摘要：一个不小于 \(2\) 的整数是素数，当且仅当它没有除了 \(1\) 与自身以外的因子 素数最关键的性质是 \(p\mid ab=>p\mid a 或 p\mid b\) 算术基本定理：任意正整数 \(n>1\) 可以唯一写成素数的乘积，一般记作 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\al
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摘要：CP3 一些大小估计类问题 经典的估计是 \((a,b)\le a-b,[a,b]\ge \frac {ab}{a-b}\) ，从而 \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{[a_k,a_{k+1}]}\le 1-\frac 1{2^n}\) （归纳，分类 \(a_n<2^n,a_n\g
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摘要：最小公约数 \((a,b)\) 即满足 \(d\mid a,d\mid b\) 的最大 \(d\) 最大公倍数 \([a,b]\) 即满足 \(a\mid d,b\mid d\) 的最小 \(d\) 若 \((a,b)=1\) 称 \(a,b\) 两数互素 重要结论： \((a,b)[a,b]=ab
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摘要：对互素的 \(i,n\) 引入 \(\frac 1i\:(mod~n)\) 表示 \(i^{-1}\:(mod~n)\) ，读者不难验证 \(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\equiv \frac{bc+ad}{ac}\:(mod~n)\) 等加减乘除性质，以及 \(a\equiv
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摘要：UPD on 2025.8.1：修改了一些表述 不定方程的通用方法通常有不等式，同余，因式分解，分析素因子幂次。 同余方法 同余方法中很重要的一块是二次剩余 还有很多不定方程利用模素数及素数性质分析，常用的性质是 \(a^2+ab+b^2\) 的素因子模 \(3\) 余 \(1\) ， \(a^2+
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摘要：以下介绍了几种有一定用处的方法，不过都是十几年前常考的东西了。 韦达跳跃法 例1 是否存在正整数 \(m\) ，使得 \(\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z+\frac 1{xyz}=\frac m{x+y+z}\) 有无穷组正整数解 代入 \((x,y,z)=(1,1,1)\)
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摘要：UPD on 2025.8.2：修正了一些错误 对 \(D\in N^*\) 且 \(D\) 不为完全平方数，方程 \(x^2-Dy^2=1\) 有无穷组解 其中设 \(x+\sqrt D y\) 最小的一组为 \((x_0,y_0)\) （该解称为基本解），则方程 \(x^2-Dy^2=1\) 的
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摘要：UPD on 2025.8.2：补充说明 形式为 \(x^2+y^2=z^2\) 的方程称为勾股方程，并称 \((x,y)=1\) 的解为一组本原解。不难推知，本原解满足 \((x,z)=1,(y,z)=1\) 我们可以证明方程 \(x^2+y^2=z^2\) 的所有本原解为 \(a^2+b^2,2
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摘要：裴蜀定理 \(ax+by=c\) 存在整数解 \((x,y)\) \(\iff (a,b)\mid c\) 更一般的 \(a_1x_1+...+a_nx_n=c\) 存在整数解 \((x_1,x_2,...,x_n) \iff (a_1,a_2,...,a_n)\mid c\) 例1 证明：对 \(
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摘要：UPD on 2025.8.3：补充说明 CP1 整系数多项式的重要引理： \(a-b\mid f(a)-f(b)\) ，证明并不困难 例1 设 \(f\) 为整系数多项式，记 \(g=f\circ f\circ f...\circ f\) ，\(n=deg(f)>1\) 。求证： \(g(x)=x
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摘要：定义：对 \((a,n)=1\) ，则满足 \(a^m\equiv 1 \:(mod~n)\) 的最小正整数 \(m\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\delta_n(a)\) 以下引用阶符号时默认 \((a,n)\) 互质 由欧拉定理，阶的存在性是显然的，下面给出几条阶的性质
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摘要：定义：称满足 \(\delta_n(a)=\varphi(n)\) 的 \(a\) 为模 \(n\) 的原根 性质： \(g,g^2,...,g^{\varphi(n)}\) 构成模 \(n\) 的简系 当且仅当存在奇素数 \(p\) 及整数 \(\alpha\) 使得 \(n\in\{p^\alp
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摘要：1、奇素数 \(p\) 满足 \(p\mid a-b,p\nmid a,p\nmid b\) ，则有 \(v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+n\) 证明：我们归纳证明。只需证下面两个引理： \(v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1,p\mid a-b,p\nmid a,p\nmi
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摘要：CP4 杂题 例1 设递增正整数数列 \(\{a_n\}\) 满足相邻两项差不超过常数 \(k\) ，求证： 存在无穷对 \((i,j),s.t.~a_i\mid a_j\) 构造 \(k\) 列无穷数表，第一行为 \(a_1+1,a_1+2,...,a_1+k\) ，之后若第 \(j\) 行为 \
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摘要：本文将介绍一些整除的相关问题，并没有很多的前置知识，因此会更偏向妙解 整除的基本性质： \(a\mid b,b\mid c=>a\mid c\) \(a\mid b,a\mid c=>a\mid b\pm c\) \(a\mid b=>a\mid bc,\forall c\in Z\) \(a\mi
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