射影几何(1)

让我们从基础概念开始。我们将要把欧式平面拓展为实射影平面。

我们约定平行线交于无穷远点。不同方向的平行线交于不同的无穷远点，所有无穷远点都在无穷远直线上

在这样的定义下，依然有两点确定一条直线。对于无穷远点，可以简单地理解为一个方向，将它与某个点相连，就是过这个点做某一个方向的直线。

对共线四点 \(A,B,X,Y\) ，定义交比为（线段是有向的）

\((A,B;X,Y)=\frac {XA}{XB}\div \frac{YA}{YB}\)

对共点直线 \(a,b,x,y\) 定义交比为（角度是有向的，不过更直观的理解是若 \(x,y\) 夹在 \(a,b\) 之间（四个角的一个）为负，否则为正）

\((a,b;x,y)=\frac{\sin<x,a>}{sin<x,b>}\div \frac{\sin<y,a>}{\sin<y,b>}\)

记 \(P(A,B;X,Y)=(PA,PB;PX,PY)\)

定理 \(1\) ：对平面上任一点 \(P\) 与共线四点 \(A,B,X,Y\) 有：

\((A,B;X,Y)=P(A,B;X,Y)\)

直接代入定义即可验证，这个定理给出的重要事实是，可以将 \(A,B,X,Y\) 通过 \(P\) 透视到另一条直线上，不改变交比

定理 \(2\) ：对圆上五点 \(P,A,B,X,Y\) ，有：

\(P(A,B;X,Y)=\pm \frac{XA}{XB}\div\frac {YA}{YB}\)

若线段 \(AB,XY\) 不相交为正，否则为负

不难由圆周角与弦的关系得到

上述两个性质可以实现将一条直线（或一个圆）上的四个点透视到另一条直线（或一个圆）上，这是射影几何最为关键的方法之一

由交比的透视性质，我们引入射影变换：

通过一个点，将一个平面的点透视到另一个平面上，称为射影变换。

我们不深入探究其性质与相关证明，只是说它具有这样的性质：

定理 \(3\) ：在任意射影变换下：

1. 直线对应直线

2. 二次曲线对应二次曲线

3. 交比不变

4. 任意直线曲线的交点数不变（特别地，相切性保持）

射影变换的主要功力在下：

定理 \(4\) ：可以通过射影变换实现以下操作：

1. 将平面上四点变为其它任四点

2. 维持平面上一个二次曲线的形状（上面的点发生了改变！），使其内部一个点变为其内部另一个点

3. 维持平面上一个二次曲线的形状，将与曲线相离的直线变为无穷远直线

例1

（笛沙格定理）对 \(\triangle ABC,\triangle XYZ\) ，若 \(AX,BY,CZ\) 共点，称它们关于其交点透视，若 \(AB\cap XY,AC\cap XZ,BC\cap YZ\) 共线，称它们关于这条直线透视。证明：两三角形关于某点透视当且仅当它们关于某直线透视

利用射影变换，将 \(ABXY\) 变为正方形，设 \(M=CA\cap ZX,N=CB\cap YZ\) ，另一个交点是无穷远点

现在只要证 \(NM//AB\iff CZ//AX\)

\(CZ//AX\rightarrow\frac{NB}{BC}=\frac{BY}{CZ}=\frac{AX}{CZ}=\frac{MA}{AC}\rightarrow NM//AB\)

\(NM//AB\rightarrow \frac{CA}{AM}=\frac{AB}{NM}=\frac{XY}{NM}=\frac{XZ}{MX}\rightarrow CZ//AX\)

证毕。

例2

给定一个圆 \(c\) 以及圆外两点 \(P,Q\) ，满足直线 \(PQ\) 与 \(c\) 相离。定义映射 \(f:c\rightarrow c\) 如下：连接 \(XP\) 交 \(c\) 于 \(Y\) ，连接 \(YQ\) 交 \(c\) 于 \(Z\) ，则 \(f(X)=Z\) 。证明：若 \(f\) 存在一个 \(n\) 阶不动点，则 \(f^{(n)}=id\)

将 \(PQ\) 变为无穷远直线，则 \(XY//l_P,YZ//l_Q\) （其中 \(l_P,l_Q\) 是 \(P,Q\) 的方向，即两条定直线），那么 \(\angle XOZ\) 为定值 \(2<l_P,l_Q>\) ，即 \(f\) 为旋转变换，证毕。

（可能有人问为什么要先讲射影变换，其实是因为笔者懒得用梅涅劳斯和相似来证明以下的一些定理罢了，这些证明可以在任何一本几何书内查阅到）

我们回归主题。我们特别关注 \((A,B;X,Y)=-1\) 的情况，称这类 \((A,B;X,Y)\) 为调和点列。 我们还称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形（显然这样的四边形满足 \(P(A,B;C,D)=-1\) ， \(P\) 是 \(\odot(ABCD)\) 上任一点）

对于某个圆 \(O\) ，设 \(X,X'\) 是关于它的反演对应点，则过 \(X'\) 且垂直于 \(OX'\) 的直线 \(l\) 被称为 \(X\) 关于圆的极线， \(X\) 是 \(l\) 的极点

定理 \(4\) ：有下列较为显然的事实：

1. \((A,B;X,Y)=(X,Y;A,B)\)

2. \((A,B;M,P_\infty)=-1\) ，其中 \(M\) 为 \(AB\) 中点

第 \(2\) 点给出了一个处理中点与平行线的手法，我们稍后会在例题看到（因为平行线交于 \(P_\infty\) ）

定理 \(5\) ：设 \(\omega\) 为圆，圆上有四边形 \(AXBY\) ，定义 \(Q=AB\cap XY\) ，则下列命题等价：

1. \(AXBY\) 是调和四边形

2. \(AB\) 是 \(\triangle AXY\) 的共轭中线

3. \(A,B,P\) 共线，其中 \(P\) 是 \(XY\) 的极点

并且上述条件下， \((A,B;Q,P)=-1\) （极线中的调和点列）

证明：将 \(Q\) 射影变换为圆心并保持 \(\omega\) 不变 ，若其为调和四边形则必为正方形，三个命题显然等价

而 \((A,B;Q,P)\) 是从 \(X\) 将调和四边形 \(AXBY\) 透视到 \(AB\) 的结果（ \(XX\) 即过 \(X\) 的切线）

我们将引入更多常见的调和点列：

定理 \(6\) ：设 \(\triangle ABC\) 内 \(AD,BE,CF\) 交于一点 \(P\) ，记 \(X=EF\cap BC\) ，则 \((C,B;D,X)=-1\) ，设 \(Y=AD\cap EF\) ，通过透视即可得到 \((E,F;X,Y)=-1\)

证明：将 \(P\) 射影变换至重心，维持 \(A,B,C\) 不变，由定理 \(4\) 完成证明。

也可以表述为完全四边形 \(BCEF\) 中的调和点列，这是完全四边形中最重要的定理之一。

定理 \(7\) ：设 \(X,A,Y,B\) 依次排列在一条直线上， \(C\) 是直线外一点，则下列三个条件可以由两个推出第三个：

1. \((A,B;X,Y)=-1\)

2. \(\angle XCY=Rt\angle\)

3. \(CX\) 是 \(\angle ACB\) 的角平分线

此定理的重述即阿波罗尼斯圆：对给定点 \(A,B\) 与常数 \(k\) ，满足 \(AC/BC=k\) 的点位于一个圆上（该圆与 \(AB\) 的交点即定理中的 \(X,Y\) ）

证明：在直线 \(AB\) 上取点 \(X,Y\) 满足 \(XA/XB=YA/YB=k\)

取 \(XY\) 的中点 \(M\) ，则 \(\triangle MAC\sim \triangle MCB\) ，给出 \(MC=\sqrt{MA\cdot MB}\) 为定值，证毕

上述证明过程给出了一个重要的调和点列性质：我们过 \(B\) 作阿氏圆的切线 \(BC\) ，则由 \(\triangle MAC\sim \triangle MCB\) 给出 \(A\) 是 \(Rt\triangle BMC\) 的斜边垂足，由射影定理直接得到：

定理 \(8\) ：对调和点列 \((A,B;X,Y)=-1\) 及 \(XY\) 中点 \(M\) ，有 \(MX^2=MA\cdot MB\)

（很多书籍要求读者通过代数方法验证这条性质。我们在此对这类误人子弟的书籍表示强烈的谴责。）

这个定理结合高斯线（国内称作牛顿线）很有用，也可以很好地处理中点，将在稍后例题展示。

最后还有两个重要的关于极点极线的定理。以下默认用 \(l_X\) 表示 \(X\) 的极线

定理 \(9\) ：若 \(Q\in l_P\) ，则 \(P\in l_Q\) ，称 \(P,Q\) 关于圆共轭

证明： 设 \(P\) 的反演对应点（也就是 \(P\) 的极线与 \(OP\) 的交点）是 \(P'\) ，利用等差幂线，有

\(PQ^2-OQ^2=PP'^2-OP'^2=OP(OP-2OP')=OP^2-2R^2\)

从而 \(Q\in l_P\iff PQ^2=OP^2+OQ^2-2R^2\) ，这是对称的，证毕

解析方法的好处是它直接给出了推论 \(9.1\) ： \(P,Q\) 关于 \(\Gamma\) 共轭 \(\iff \odot(直径PQ),\Gamma\) 正交

显然的推论 \(9.2\) ：

设 \(P=l_A\cap l_B\) ，则 \(l_P=AB\)

这更多是一种分析思想，可以转换三点共线与三线共点问题。

推论 \(9.3\) ：设 \(A,B,C,D\) 在圆上， \(S,T\) 是 \(AB,CD\) 的极点，并设 \(AC\cap BD=K\) ，则 \(K,S,T\) 共线

证明：设 \(AB\cap CD=X\) ，根据推论 \(9.2\) ， \(l_X=ST\) ，但根据 \(Brocard\) 定理， \(K\) 也在 \(X\) 极线上。

定理 \(10\) ： （\(Brocard\) 定理）对圆上四点 \(A,B,C,D\) ，若 \(AB\cap CD=X,AC\cap BD=Y,AD\cap BC=Z\) ，则 \(l_X=YZ,l_Y=XZ,l_Z=XY\) ，并且 \(\triangle XYZ\) 的垂心是圆心 \(O\)

下面的例题展示了基础的透视方法。

例3

设 \(\triangle ABC\) 中以 \(AC,BC\) 为直径的圆分别为 \(c_1,c_2\) ， \(A,B,C\) 对应的垂足为 \(D,E,F\) ， \(AF\cap c_2=K,M,BE\cap c_1=L,N\) ，求证： \(AB,ML,NK\) 共点

画个图就可以知道它们的交点就是 \(D\) 。

法一：一个显然的事实是 \(H\) 是在两圆的根轴上的，给出了 \(KLMN\) 共圆，而这个圆的圆心（看上去）恰好是 \(C\) ！于是很自然地联想 \(Brocard\) 定理，就能做完这道题。

因为 \(CN=CL,CK=CM\) ，所以 \(C\) 是两条中垂线的交点，它只能是圆心。

我们声称 \(H\) 关于 \(\odot C\) 的极线就是 \(AB\) ，这样根据 \(Brocard\) 定理， \(NK\cap ML\) 就在 \(AB\) 上，就完成了证明。记 \(D\) 是 \(C\) 在 \(AB\) 上的垂足，只要证 \(CH\cdot CD=R^2\)

由 \(ADHE\) 共圆知 \(CH\cdot CD=CE\cdot CA=CE^2+CE\cdot CA\overset{ALCN共圆}{=}CE^2+LE^2=R^2\) ，证毕

法二： \(ACLN\) 是一个对称的四边形，所以它是调和的

注意到 \(-1=F(A,C,L,N)\overset{BE}{=}(B,H;L,N)\) 同理 \((A,H;K,M)=-1\)

显然这两个调和点列关于 \(D\) 透视，问题至此已经结束，具体地可以用同一法来说明：

\(D'=ML\cap NK\) ，则 \(-1=(B,H;L,N)\overset{D'}{=}(A',H;M,K)\) ，则 \(A=A'\) ， \(AD'B\) 共线，证毕

例4

如图，调和四边形 \(ABCD\) 内接于 \(\odot O\) ， \(BD\) 的极点为 \(P\) ，过 \(C\) 的切线与 \(DP,DA\) 分别交于 \(Q,R\) ， \(AQ\) 与 \(\odot O\) 交于 \(E\) ，证明： \(BER\) 共线

这题可以直接用射影变换。我们来讲一个透视的做法

可以看到 \(ACED\) 是一个调和四边形，如果要证 \(BER\) 共线，换而言之， \(E\) 在 \(CQ\) 上的投影（通过 \(B\) ）就是 \(R\) ，可以通过 \(B\) 点透视，具体地说，定义 \(R'=BE\cap CQ\) ，有

\(-1=B(A,E;C,D)\overset{CQ}{=}(T,R';C,S)\)

来看看 \((T,R;C,S)\) 。我们再透视一次，可以看到 \(A\) 是个不错的点，将其透视到圆上。

\((T,R;C,S)=A(B,D;C,S)\)

由于 \(ABCD\) 是调和四边形，现在只要证 \(AS\) 是切线就行了。

注意到 \(S=BD\cap CQ=l_p\cap l_c\) ，所以 \(l_s=CP\) ，而 \(A\in CP\) ，证毕。（用到推论 \(9.2\) 的思想）

这个推论能有效地转换三点共线和三线共点的问题。在处理这些问题之前， \(Pascal\) 定理是极其重要的：

定理 \(11\) ：设 \(ABCDEF\) 是圆内接六边形（不一定是凸的），则 \(AB\cap DE,BC\cap EF,CD\cap FA\) 共线。

证明：我们将证明其推广形式：

三条圆锥曲线 \(C_1,C_2,C_3\) 都经过 \(A,B\) 两点， \(C_2\cap C_3=A,B,P_1,P_2,C_3\cap C_1=A,B,Q_1,Q_2,C_1\cap C_2=A,B,R_1,R_2\) 则 \(P_1P_2,Q_1Q_2,R_1R_2\) 共点

取其中两条圆锥曲线退化为两条直线即可

\(Bezout\) 定理：若两条三次曲线有九个交点，另一条三次曲线经过这九个点中的八个，那么它经过第九个点。

这是因为三次曲线有 \(10\) 个系数，需要 \(9\) 个点确定，但如果 \(9\) 个点不能确定一条三次曲线，也就是有两条三次曲线经过它们，那它们构成的方程中就一定出现了线性相关的情况，就可以由其中八个点推出第九个点

构造三次曲线 \(F_1=C_1\cup P_1P_2,F_2=C_2\cup Q_1Q_2,F_3=C_3\cup R_1R_2\) ，设 \(P_1P_2\cap Q_1Q_2=K\)

则 \(F_1,F_2\) 都经过 \(ABP_1P_2Q_1Q_2R_1R_2K\) ，从而 \(F_3\) 经过它，即 \(K\in R_1R_2\) （ \(K\) 不在 \(C_3\) 上）

当然，初等的证明可以在任何一本几何教材上找到。

下面的例子展示了极点极线与 \(Pascal\) 定理的应用

例5

如图， \(\triangle ABC\) 的内切圆 \(\odot I\) 与 \(AB,AC,BC\) 切于 \(F,E,D\) ，射线 \(EF\) 交 \(\odot(ABC)\) 交于 \(M\) ， \(S\) 是 \(AM\) 的极点， \(T\) 是 \(BC\) 的极点，求证： \(ST\) 是内切圆切线。

我们令 \(P=AB\cap MC,Q=BM\cap AC\) ，根据推论 \(9.3\) ，我们看到 \(PQST\) 共线，然后用 \(PQ\) 代替 \(ST\)

下面我们关于内切圆做分析。 \(PF,QE\) 已经是切线了，作另一条切线 \(PK\) ，我们要证 \(QK\) 也是切线。

我们需要审视图中的条件。 \(M=PC\cap EF\) ，于是 \(M\) 的极线上有 \(A\) 和 \(l_C\cap l_P=ED\cap FK\)

注意 \(EDFK\) 是内切圆上的点，所以根据 \(Brocard\) 定理，若 \(ED\cap FK\) 在 \(M\) 的极线上，那么 \(M\) 一定在 \(FE\cap KD,FD\cap EK=W\) 的连线上（那是 \(FK\cap ED\) 的极线），所以 \(M=FE\cap KD\)

那么 \(AW\) 是 \(M\) 的极线。现在 \(W=DF\cap l_M\) 给出 \(l_W=BM\) ，从而 \(Q\) 在 \(W\) 极线上，那么 \(l_Q=WK\) 过点 \(K\) ，证毕。

注：我们其实没用到 \(A\) ，在书写答案时可以省略 \(A\) 。但是在做题过程中，用 \(9.2\) 的思想思考是更完整的方式。

例6

（布利安桑定理）若六边形 \(ABCDEF\) 外切于圆，证明： \(AD,BE,CF\) 共点

根据上面的引理，只要证 \(AD,BE,CF\) 对应的极点共线就好。

而 \(AD\) 的极点是 \(l_A,l_D\) 的交点，\(l_A\) 就是 \(AB,AF\) 与圆切点的连线。

于是把六个切点作出，发现该命题即等价于帕斯卡定理。

例7

设四边形 \(ABCD\) 内接于圆 \(c\) ， \(E=AB\cap CD,F=AD\cap BC\) ，设 \(\odot (AEF),\odot (CEF)\) 分别与 \(c\) 交于 \(G,H\) ，求证： \(GH,AC,BD\) 共点

设 \(R=AC\cap GH\) ，要证 \(R\) 在 \(BD\) 上，根据 \(Brocard\) 定理，只要证 \(l_R=EF\)

一个不错的事实是（由根心定理给出） \(AG,CH,EF\) 共点。那么用 \(Brocard\) 定理，只要证 \(AH\cap GC\in EF\)

来尝试 \(Pascal\) ，我们要对 \(AH\_CG\_\) 或者 \(HA\_GC\_\) 使用（其实一样的，但是写的时候毕竟从左往右写更自然）

注意到 \(HAAGCC\) 是很好的。因为 \(AA\cap CC\) 根据 \(Brocard\) 定理已经在 \(EF\) 上， \(AG\cap GC\) 也已经在 \(EF\) 上，这就证毕。

例8

如图， \(\triangle ABC\) 的内心为 \(I\) ， \(B-\) 伪内切圆与外接圆切于点 \(B_1\) ， \(B'\) 是 \(B\) 的对径点，同理定义 \(C_1,C'\) 。设 \(B'C_1,C'B_1\) 交于 \(X\) ，求证： \(XA=XI\)

取弧 \(AB,AC\) 中点 \(N,M\) ，只要证 \(NMX\) 共线，或者说证明 \(B_1C',B'C_1,MN\) 共点。并且其实 \(OIX\) 也可以看出来是共线的

必须注意的是，应当把 \(X\) 定义为 \(NM\cap B_1C'\) 然后把 \(C_1B'\) 这两个点用六边形交出来，因为 \(B_1,C_1\) 这两个点其实不是很直接的点，但也不能一个都不用

如果这样定义，应当用 \(NM\_B_1C'\_\) 或者 \(NM\_C'B_1\_\) 。我们先很自然地看到了 \(CC'\) 与 \(MS\) 是交于圆心的，这不错，而 \(SB_1\cap CN=I\) ，很好，对 \(NMSB_1C'C\) 有 \(OIX\) 共线。

这里已经做完了。如果我们再定义 \(X'=NM\cap B'C_1\) ， \(OIX'\) 同理共线，这就给出 \(X=X'\) ，证毕。

我们以几个阿氏圆的例子结束基础知识的讲解。

例9

如图， \(\triangle ABC\) 内接圆 \(\odot I\) 切三边于 \(D,E,F\) ， \(M\) 是 \(AB\) 中点，过 \(I\) 作 \(CM\) 垂线交 \(DE\) 于点 \(K\) ，求证： \(CK//AB\)

\(ADTIE\) 五点共圆，我们可以记 \(S=DE\cap CM,T=IK\cap CM\)

现在已经有 \(\angle STK=Rt\angle\) ，看看 \(TS\) 是否平分 \(\angle DTE\) 。由共圆， \(\angle DTC=\angle DIC=\angle EIC=\angle ETC\) ，从而 \(-1=(D,E;S,K)\)

透视到直线 \(AB\) 上得到 \(-1=(A,B;M,K')\) ， \(K'\) 只能是无穷远点，从而 \(CK//AB\) ，证毕。

例10

如图，圆内接四边形 \(ABCD\) 中， \(E=AB\cap CD,F=AD\cap BC\) ， \(M\) 是 \(BD\) 中点，若 \(\angle BME=\angle DMF\) ，求证： \(ABCD\) 是调和四边形

把这个完全四边形补充完整。构造 \(G=EF\cap BD,P=AC\cap EF,Q=AC\cap BD\)

已经有了外角平分线，看看有没有调和点列或者垂直。前者比较明显， \((E,F;P,G)=-1\) ，从而 \(PM\perp BD\)

因为\(Q\in BD\) ，所以 \(BD\) 极点 \(X\in l_Q\) ，根据 \(Brocard\) 定理， \(l_Q=EF\) ，从而 \(X=P\) ，证毕。

定理 \(12\) ：\(A,B\) 是关于 \(\Gamma\) 的反演对应点 \(\iff\) \(\Gamma\) 是关于 \(A,B\) 的阿氏圆 \(\iff\) 点圆 \(A,B\) 与 \(\Gamma\) 共轴

例11

如图， \(AB\) 是 \(\odot O\) 上任一条弦， \(C\in AB\) 且 \(CD\) 关于 \(\odot O\) 为反演对应点。 \(X\) 是弧 \(AB\) 上任一点， \(AX,BX\) 与 \(CD\) 中垂线交于 \(E,F\) ，求证： \(X,E,F,D\) 共圆

根据定理 \(12\) ，点圆 \(C,D\) 和 \(\odot O\) 共轴 \(EF\) ，从而 \(EX\cdot EA=EC^2\) 给出 \(\triangle CEX\sim\triangle AEC\) ，从而 \(\angle ECA=\angle EXC\) ，同理 \(\angle FCB=\angle FXC\)

来看看 \(\angle EXF=2\pi-(\angle FXC+\angle EXC)=\pi-\angle ECF=\pi-\angle EDF\) ，证毕

准确地来说应该用有向角。