「题解」[ARC152C] Pivot（数形结合）

在数轴上考虑，易得一次操作相当于选定对称轴翻转。

任意时刻只存在两种相对状态——原状态和翻转状态，且和操作奇偶性相关。

令 \(d=a_n-a_1\)，通过不断以最小值为轴翻转，可知任意时刻 \(a_1\) 可对 \(d\) 取模。

不断以最大值为轴翻转，可以剔除 \(a_i\ge 0\) 的限制。

考察以 \(a_i\) 为轴翻转，最小值由 \(a_1\to 2a_i-a_n\)，增加了 \(2a_i-a_1-a_n\)，由于 \(a_1\) 同余 \(a_n\pmod d\)，对 \(a_1\bmod d\) 的贡献即 \(2(a_i-a_1)\)。再操作一次会相互抵消。

通过不断以最大值为轴翻转，可以剔除操作奇偶性的限制。

由裴蜀定理可得，\(2(a_i-a_1)\) 的线性组合为 \(k\cdot \gcd(d,\gcd_i2(a_i-a_1))\)。故 \(a_1\) 最小可以达到 \(a_1\bmod \gcd(d,\gcd_i 2(a_i-a_1))\)。