数论 - 你说得对，但是感觉不如原根

感觉不如原根。

定义 \(g\) 为 \(n\) 的原根当且仅当 \(g\) 模 \(n\) 的 阶 为 \(φ(n)\)（群的阶）。即，满足 \(g^x=1\pmod n\) 的最小正整数解为 \(φ(n)\)。有 \(g^{x}\bmod n\ (x<φ(n))\) 一定互不相同。

存在原根的 \(n\) 一定形如 \(2,4,p^k,2p^k\)。可以 \(O(n)\) 筛出。

\(n\) 的最小原根仅为 \(O(n^{1/4})\)。枚举因数检查，\(O(\dfrac{n^{1/2}}{\log n}+n^{1/4}\log n\log\log n)\)。

\(n\) 共有 \(φ(φ(n))\) 个原根，且所有原根一定形如 \(g^k\)，其中 \(\gcd(k,φ(n))=1\)。

原根将底数上的乘方转化为指数上的乘法。\(x^n\)：想到原根。

求 \({x^k=a\pmod p}\) 的所有解。

\(x=g^y\)，\(a=g^b\)，即 \(g^{yk}=g^b\)。exgcd。

[ABC212G] Power Pair

给定质数 \(P\)，求有多少个整数 \(x,y\)，满足

• \(0\le x,y\le P-1\)
• \(\exist n\in \mathbb{N},x^n\equiv y\pmod p\)