杂论 - 复杂度相关

大声朗读并熟练背诵

\[\large \begin{array} AA\alpha\ B\beta \ \Gamma\gamma\ \Delta \delta\ E\epsilon\ Z\zeta\ H\eta\ \Theta\theta\ I\iota\ K\kappa\ \Lambda\lambda \ M\ \mu\ N\nu\ \Xi\xi\ O\omicron\ \Pi\pi\ P\rho \ \Sigma \sigma\varsigma\ T\tau\ \ \Upsilon\upsilon\ \Phi\phi\varphi \ X\chi\ \Psi\psi \ \Omega\omega \end{array} \]

复杂度表示

• https://oiwiki.org/basic/complexity/

• 大 Theta \(\Theta\) 符号：上下界夹逼

  • 称 \(f(n)=\Theta(g(n))\)，当且仅当存在 \(l,r,n'\ \color{red}{>0}\) 使得任意 \(n>n'\) 都有 \(l\cdot g(n)\le f(n)\le r\cdot g(n)\)。

• 大 Omicron \(O\) 符号：非严格上界

  • 称 \(f(n)=O(g(n))\)，当且仅当存在 \(r,n'\ \color{red}{>0}\) 使得任意 \(n>n'\) 都有 \(f(n)\le r\cdot g(n)\)。

• 大 Omega \(\Omega\) 符号：非严格下界

  • 称 \(f(n)=\Omega(g(n))\)，当且仅当存在 \(l,n'\ \color{red}{>0}\) 使得任意 \(n>n'\) 都有 \(l\cdot g(n)\le f(n)\)。

• 小 omicron \(\omicron\) 符号：严格上界

  • 称 \(f(n)=\omicron(g(n))\)，当且仅当存在 \(r,n'\ \color{red}{>0}\) 使得任意 \(n>n'\) 都有 \(f(n)< r\cdot g(n)\)。

• 小 omega \(\omega\) 符号：严格下界

  • 称 \(f(n)=\omega(g(n))\)，当且仅当存在 \(l,n'\ \color{red}{>0}\) 使得任意 \(n>n'\) 都有 \(l\cdot g(n)< f(n)\)。

• 注意，\(f(n)\) 是我们要研究的函数，\(O(g(n))\) 是对 \(f\) 的估计

复杂度分析

性质

• \(f(n)=\Theta(g(n))\) 当且仅当 \(f(n)=O(g(n))\) 且 \(f(n)=\Omega(g(n))\)
• \(f_1(n)+f_2(n)=\Theta(\max(f_1(n),f_2(n)))\)
• \(f_1(n)f_2(n)=\Theta(f_1(n)f_2(n))\)
• \(\forall a\ne 1,\log_a n=\Theta(\log_2 n)\)。由换底公式可以得知，对数函数无论底数如何，都具有相同的增长率，因此渐进时间复杂度中对数的底数一般省略不写。

分析

• https://www.cnblogs.com/Network-Error/articles/17500805.html

P=NP?

P 问题和 NP 问题

P 问题：能在多项式时间内解决。

NP 问题：不能在多项式时间内解决但可在多项式时间内验证。

A 能多项式规约为 B：问题 A 的所有实例都能够在多项式的时间复杂度内转化为问题 B 的所有实例。

规约后如果问题依然是 NP 问题，我们就把它称作 NP-complete 问题；如果不是，称它为 NP-hard 问题。