2023/8/5 ZR B 经典数据结构 听课总结

树状数组

单点加：前后缀和。

线段树

对于信息群 \(I\)，标记群 \(D\)，满足：

• 信息结合律：\(a,b,c\in I,(a+b)+c=a+(b+c)\)
• \(a\in I, b\in D,a+b\in I\)
• 标记可下传（标记可以集体下放更新到子节点的信息）：\(a\in I,b,c\in D\)，\((a+b)+c=a+(b+c)\)
• 标记满足结合律（标记可以和子节点的标记合并）：\(a,b,c\in D,(a+b)+c=a+(b+c)\)
• 标记提前计算（在一点打上标记时，直接更新维护的信息）：\(a,b\in I, c\in D\)，\((a+b)+c=(a+c)+(b+c)\)

标记永久化

直接在结点上永久更新标记。

标记额外满足交换律：\(a,b\in D, a+b=b+a\)。

动态开点

维护有效部分的虚树。

扫描线

矩形面积并

维护 \(\sum_i[i=\min]\text{len}_i\)。

不交线段扫描线

维护若干线段。端点加删，维护相对关系。

变形：将其他信息抽象成二维点。

trick：

树剖，树链转区间。己酸集合（某点下的直线条数）对直线分块。

矩形内线段长度，转化为二维一次函数数点。

CDQ

多维偏序。也可以优化 DP。

带修二维偏序可以转化为带时间戳的三维偏序。CDQ。

镜中的昆虫

经典转化：颜色数维护 lst，转化为 (i,lst) 的二维数点。

涉及修改：删旧加新，维护时间戳，转化为二维数点。均摊正确。

Longest Increasing Subsequence

列出式子，把 \(\max\) 转为一维条件。

二分

线段树维护第 \(k\) 小。

\(\min(a,b)\) \(a\) 单增 \(b\) 单减的形式，找 \(a<b\) 和 \(a>b\)。

树状数组二分。

平衡数二分。

线段树合并

线段树合并，分裂。

树上路径：差分。

排序操作：均摊，维护有序段。

DP min 转移式：图像分析。

时光倒流。