数论 - 筛法相关

埃氏筛

调和级数暴力枚举倍数。

应用：求给定数中 \(i\) 的因子个数（Dirichlet 前缀和），详见 容斥反演篇。

欧拉筛

• 优化：只筛 6k-1,6k+1
• https://www.luogu.com.cn/blog/310801/xiao-mo-xian-zhu-yi-0-post
• 对于所有 \(i\) 进行筛法枚举质数 \(j\) 时只枚举到 \(i\) 的最小质因子。
• 分类讨论：
  • \(i\) 含有最小质因子 \(j\)，\(i\times j\) 也含有最小质因子 \(j\)。
  • \(i\) 不含最小质因子 \(j\)，\(i\times j\) 含有最小质因子 \(j\)。
  • 对两种情况分别更新。
• 可以筛 \(\mu,\varphi\)、最小约数、约数个数、约数和 等积性函数。
• 扩展到任意积性函数，只要可以 O(1) 求 \(f(p^k)\) 即可。

线性筛 \(n^n\)

\(n^n\) 可以在线性内预处理，我们套用线性筛的流程：

• 对于素数暴力快速幂，这一部分复杂度为 \(\Theta(\dfrac{n}{\ln n}\ln n)\)。
  对于合数 \(i=pq\)，\(p\) 是一 小于根号 的素数，而 \(q\) 是在外层枚举的任意数，我们尝试计算 \((p^p)^q(q^q)^p\)，前者使用光速幂 \(\Theta(\sqrt n)\) 预处理 \(\Theta(1)\) 查询，后者即依次求出 \(C^{p_1},C^{p_2},\cdots\)。\(p_i-p_{i-1}\) 是 prime gap，其为 \(\Theta(\ln n)\) 级别，暴力预处理这一级别的幂次，那么复杂度为 \(\Theta(\sqrt n\times \sqrt n+\sum_q\ln \dfrac{n}{q})=\Theta(n)\)。