贪心思想

总结：玄学。

排序贪心

两种题型：

• 构造序列，最小化某个式子的值
  • 感性地贪心取。
  • 例如 \(a_i<a_{i+1}\)，\(b_i\) 是一个排列，最小化 \(\sum a_ib_i\)。
    • 取 \(b_i=n-i+1\)。
• 重排序列，最小化某个式子的值
  • 整理原式，抵消贡献，再贪心。
    • 阿狸和桃子的游戏，[THUPC2023] 大富翁
  • 交换法，记 \(\text{cmp}(i,j)\) 为考虑 \(i\) 在 \(j\) 前面和后面哪个更优。
    • 皇后游戏
    • [USACO23FEB] Fertilizing Pastures G，此时只需要考虑 \(i,j\) 两者之间的贡献
  • 通过人类智慧满足 Strict Weak Ordering。
    • 皇后游戏

排序法则 Strict Weak Ordering

定义 \(x=y\) 成立（incomparable）当且仅当 \(x<y\) 和 \(y<x\) 均不成立。

1. 对于 \(x\in S\)，不存在 \(x<x\)（非自反性，基本条件）
2. 对于 \(x,y\in S\)，\(x<y\)，不存在 \(y<x\)（非对称性，基本条件）
3. 对于 \(x,y,z\in S\)，\(x<y,y<z\)，有 \(x<z\)（传递性）
4. 对于 \(x,y,z\in S\)，\(x=y,y=z\) 那么 \(x=z\)（不可比性的传递性）

事实上可以由 \(1\) 和 \(3\) 推出 \(2\)。

\(1,2\) 是运算符的基本条件，额外满足 \(3\) 即可排序，使用 std:sort 还需满足 \(4\)。排序时需要注意是否稳定。

扩展贪心 / 前 \(\bm k\) 大问题

构造方案使得所有状态形成一棵树，父节点比儿子节点优先级更高，且每个结点度数 \(O(1)\) 级别。此时即可按堆扩展。

这种往往使用可持久化数据结构维护。

这种前 \(k\) 大问题，要么贪心，要么二分。

P2048 [NOI2010] 超级钢琴 / P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子 / 前 \(\bm k\) 大区间和

维护左端点，找到最大值所在的右端点。从堆中取出最优值，将最大值所在的右端点两边扩展入堆，或者直接求 \(k\) 小值。

\(\bm k\) 短路

维护非最短路树上的边，加边扩展。

注意 简单路径 只能二分做。

P6646 [CCO2020] Shopping Plans

反悔贪心

模拟费用流。

P1792 [国家集训队] 种树

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