循环一号's Blog

摘要： Prufer 序列，用于把一颗树双射到一个序列上，在有度数限制的树计数上很有用。 构造过程：每次去最小的叶子，将其父亲加入序列中，再删除这个点。直到只剩两个点，其中一个点肯定是 \(n\)（如果是有根树）。 直接一个堆是 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的，然后考虑如果父节点编号 阅读全文

摘要： 部分习题选自 BIJECTIVE PROOF PROBLEMS，部分来自网上。 1. \[\sum\limits_{i=0}^n \binom{k+i}{i}=\binom{n+k+1}{n} \]考虑左边在干啥，相当于枚举最后一个位置为 \(k + i + 1\) 然后前面选 \(k\) 个，于是 阅读全文

摘要： 已知 \(a, b \in \mathbb{N}^+, ab + 1 \mid a^2 + b^2\)，求证 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}\) 为完全平方数。 证明：假设 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}=k, k\) 不为完全平方数，设 \((x, 阅读全文

摘要： 这个题，非常牛阿。 首先差分一下，把区间操作变为差分数组 \(c\) 上单点 \(\pm a, \pm b\)，要求最后 \(c\) 全为 \(0\)。注意，这里的差分数组是拓展过的，即 \(c_{n + 1} = -c_n\)，要求 \(c_{n + 1}\) 也变为 \(0\)。 令 \(d = 阅读全文

摘要： 一般有意思的树上背包。 题意：给定 \(n\) 个点的树，选 \(k\) 个点 \(a_1, a_2, \cdots, a_k\)，使得 \(\sum dis(a_i, a_{i + 1})\) 最小。\(n \le 3000\)。 首先选的肯定是一个树上的连通块，然后起点终点肯定是直径两个端点。于 阅读全文

摘要： Hall 定理： 对于二分图 \(G = (X, Y, E)\)，\(|X| \le |Y|\)，若是 \(X\)-完美匹配存在（即所有 \(X\) 中的点都有匹配点），则充要条件是 \(\forall W \subseteq X, |W| \le |N_G(W)|\)，其中 \(N_G(W)\) 阅读全文

摘要： 长剖有啥用？如果一个 dp 的一维为和深度有关的东西，且信息是从子树合并而来的话，那么记树高为 \(m\)（一般卡满为 \(n\)）则可以优化掉一个 \(m\)。 主要思想：长链上的点共用一个 dp 数组，\(u\) 的信息直接继承 \(u\) 的长儿子，并做出一些修改，其余子树暴力合并，于是 dp 阅读全文

摘要： 这题挺有意思 首先我们有一些显然的观察：每本书最多移动一次，且每种颜色有下面三种情况： 全部移到最后了 全部没移，其中间的都被移走了 有一个后缀没移，且除了这个后缀的所有颜色移到了这个后缀的后面。 从后往前 dp 即可，另外如果把记删除最少改为保留最多会更好写。 点击查看代码 #include <b 阅读全文

摘要： 给出两个做法，一个平凡，一个大牛逼。 Sol1 分治 很常规吧，不说了。 Sol2 线性做法 考虑 \(f\) 为随便选不选 \(i\) 的方案，\(g\) 为一定不选 \(i\) 的方案。 转移： \[f' \leftarrow \max(f, g + a_i), g' \leftarrow f 阅读全文

摘要： \(\text{subtree}_u\)：\(u\) 的子树内（不包括 \(u\)）的点组成的集合。 \(\text{son}_u\)：\(u\) 的子节点组成的集合。 \(\text{path}_{u, v}\)：树上 \(u\) 到 \(v\) 的简单路径上的点组成的集合。 以下内容参考了其它题 阅读全文