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摘要: 很有意思。 大概可以猜到答案很大,所以子串的端点应该靠近最左边或最右边。大胆打表/枚举/分讨后发现一定满足左端点在 \([1, 3]\) 或右端点在 \([n - 2, n]\),证明就是分讨,可以参考洛谷题解区,还是比较容易的。 阅读全文
posted @ 2025-12-25 20:51 循环一号 阅读(10) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 很有意思的题。记 \(V = 10^9\)。 首先默认 \(a_0 = a_{n + 1} = +\infty\)。对于一个点 \(i\),能吃就吃,最终会遇到两个边界 \(l - 1, r + 1\),满足 \(\sum\limits_{j=l}^r a_j < \min(a_{l - 1}, a 阅读全文
posted @ 2025-12-25 14:25 循环一号 阅读(37) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 挺有意思的计数。 把 \(0\) 看成黑边,\(1\) 看成白边,就是要你求每个环上都有偶数条黑边的基环森林计数。 假设基环树一共 \(i\) 条白边 \(j\) 条黑边,环上面有 \(a\) 条白边,\(b\) 条黑边,就有 \(n = a + b\) 个点。连成环的方案数是 \((a + b - 阅读全文
posted @ 2025-12-25 09:54 循环一号 阅读(25) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 挺没意思的基环树好题。 首先定义基环树直径:割掉环上的一条边可以产生一棵树,设这些树为 \(T_1, T_2, \dots, T_k\),那么直径就是 \(\min_i \max dis(T_i, u, v)\)。\(dis(T_i, u, v)\) 表示第 \(i\) 棵树上 \(u, v\) 的 阅读全文
posted @ 2025-12-25 09:09 循环一号 阅读(16) 评论(0) 推荐(0)
摘要: Prufer 序列,用于把一颗树双射到一个序列上,在有度数限制的树计数上很有用。 构造过程:每次去最小的叶子,将其父亲加入序列中,再删除这个点。直到只剩两个点,其中一个点肯定是 \(n\)(如果是有根树)。 直接一个堆是 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的,然后考虑如果父节点编号 阅读全文
posted @ 2025-12-24 18:17 循环一号 阅读(48) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 部分习题选自 BIJECTIVE PROOF PROBLEMS,部分来自网上。 1. \[\sum\limits_{i=0}^n \binom{k+i}{i}=\binom{n+k+1}{n} \]考虑左边在干啥,相当于枚举最后一个位置为 \(k + i + 1\) 然后前面选 \(k\) 个,于是 阅读全文
posted @ 2025-12-23 21:35 循环一号 阅读(83) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 已知 \(a, b \in \mathbb{N}^+, ab + 1 \mid a^2 + b^2\),求证 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}\) 为完全平方数。 证明:假设 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}=k, k\) 不为完全平方数,设 \((x, 阅读全文
posted @ 2025-12-22 17:42 循环一号 阅读(60) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 这个题,非常牛阿。 首先差分一下,把区间操作变为差分数组 \(c\) 上单点 \(\pm a, \pm b\),要求最后 \(c\) 全为 \(0\)。注意,这里的差分数组是拓展过的,即 \(c_{n + 1} = -c_n\),要求 \(c_{n + 1}\) 也变为 \(0\)。 令 \(d = 阅读全文
posted @ 2025-12-21 18:47 循环一号 阅读(26) 评论(0) 推荐(0)
摘要: 一般有意思的树上背包。 题意:给定 \(n\) 个点的树,选 \(k\) 个点 \(a_1, a_2, \cdots, a_k\),使得 \(\sum dis(a_i, a_{i + 1})\) 最小。\(n \le 3000\)。 首先选的肯定是一个树上的连通块,然后起点终点肯定是直径两个端点。于 阅读全文
posted @ 2025-12-21 14:24 循环一号 阅读(13) 评论(0) 推荐(0)
摘要: Hall 定理: 对于二分图 \(G = (X, Y, E)\),\(|X| \le |Y|\),若是 \(X\)-完美匹配存在(即所有 \(X\) 中的点都有匹配点),则充要条件是 \(\forall W \subseteq X, |W| \le |N_G(W)|\),其中 \(N_G(W)\) 阅读全文
posted @ 2025-12-21 14:15 循环一号 阅读(33) 评论(0) 推荐(0)
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