长剖小记

长剖有啥用？如果一个 dp 的一维为和深度有关的东西，且信息是从子树合并而来的话，那么记树高为 \(m\)（一般卡满为 \(n\)）则可以优化掉一个 \(m\)。

主要思想：长链上的点共用一个 dp 数组，\(u\) 的信息直接继承 \(u\) 的长儿子，并做出一些修改，其余子树暴力合并，于是 dp 数组上深度维的大小就是其所在长链，而长链的和是 \(n\)，所以复杂度是对的。

长剖有两种写法，一种是 vector，我觉得不好写，另一种是指针，感觉挺好的，就是可能有点危险，实际上长剖的题挺少的。

例 1： CF1009F
直接长剖。

例 2：P5904
直接长剖。dp 状态是好设计的。

例 3：noip2025 t3
前面的见我的题解，设计出 \(nm^2\) 的状态后可直接长剖优化至 \(\mathcal{O}(nm)\)。

例 4：P4292
二分答案（好像叫分数规划）后长剖即可。

细节可以见该题题解区。

然后长剖还有个用途是 \(\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)\) 求 \(k\) 级祖先，这里不赘述，因为太慢了。