树的价值

\(\text{subtree}_u\)：\(u\) 的子树内（不包括 \(u\)）的点组成的集合。

\(\text{son}_u\)：\(u\) 的子节点组成的集合。

\(\text{path}_{u, v}\)：树上 \(u\) 到 \(v\) 的简单路径上的点组成的集合。

以下内容参考了其它题解。

记每个点填的数为 \(a_u\)，答案为 \(b_u\)，另记 \(x = \text{mex}_{v\in \text{subtree}_u} a_v\)，称 \(a_u=x\) 的点为黑点，否则为白点。显然，\(a_u \ge x\)。

白点的作用一定是为黑点产生贡献，可以理解成是将一个白点分配给一个唯一的黑点，让这个黑点的贡献 \(+1\)。

容易设计出一个状态：\(f_{u, i, j}\) 表示 \(u\) 子树内（不包括 \(u\) 本身） \(x = i\)，有 \(j\) 个白点的最大价值和。转移即枚举 \(b_u\) 与 \(\max_{v \in son_u} {b_v}\) 的差，表示将这么多个白点分给 \(u\)，再枚举一个取到 \(\max b_v\) 的 \(v\)，可以做到 \(\mathcal{O}(n^4)\) 或 \(\mathcal{O}(n^3)\)。

我们考虑这个取到最大值的儿子 \(v\)，我们令其为重儿子（和重链剖分没有关系），那么树就被剖分成了若干链，且每次 \(b_u \leftarrow b_u + 1\)，都会使 \(u\) 到该链的链顶这些点 \(b + 1\) 即分一个白点给 \(u\) 的贡献为 \(\text{dep}_u\)。注意这里的 \(\text{dep}_u\) 是指其到链顶的路径上的点数。所以一个白点的最大贡献就是其到根节点路径上节点个数最多的链。

考虑 \(f_{u, i, j}\) 表示 \(u\) 所在链的长度为 \(i\)，\(\text{dep}_u=j\) 的答案（\(\text{dep}_u\) 定义同上）。这个的转移是 \(\mathcal{O}(nm^2)\) 的。

考虑优化，发现其实 \(j = 1\) 和 \(j = i\) 的情况就足够了：\(f_{u, i}\) 表示 \(u\) 是链顶，\(u\) 到根节点路径上长度最长的链长为 \(i\) 的答案，\(g_{u, i}\) 表示 \(u\) 是其所在链链底，到根节点路径上长度最长的链长为 \(i\) 的答案。

注意这里的链长都是指节点个数。

初始时 \(f_{u, i}, g_{u, i}\) 都为 \(i \times sz_u\)。

\(g\) 的转移：

\[g_{u, i} = \max_{v \in \text{son}_u} j + g_{v, i + 1} + \sum_{w \in \text{son}_u \land w \neq v} f_{w, i} \]

\(f\) 的转移：考虑枚举一个与 \(u\) 距离为 \(i - 1\) 的后代 \(v\) 代表链底，有转移：

\[f_{u, i} \leftarrow i(i - 1) + g_{v, i} + \sum_{w \in \text{path}_{u, v} \land w \neq u}\sum_{x \in \text{son}_{fa_w \land x \neq w}} f_{x, i} \]

后面这一坨代表其它链，\(i(i - 1)\) 是 \(b_u\)。

枚举 \(v\) 的复杂度是 \(\mathcal{O}(nm)\) 的，因为每个点最多有 \(m\) 个祖先。

使用树状数组即可做到 \(\mathcal{O}(nm \log n)\)。