组合意义天地灭。

部分习题选自 BIJECTIVE PROOF PROBLEMS，部分来自网上。

\[\sum\limits_{i=0}^n \binom{k+i}{i}=\binom{n+k+1}{n} \]

考虑左边在干啥，相当于枚举最后一个位置为 \(k + i + 1\) 然后前面选 \(k\) 个，于是就是 \(n + k + 1\) 选 \(k + 1\) 个的方案数。

\[\sum\limits_{i=k}^n \binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]

类似证法。

\[\sum\limits_{i=0}^n i\binom{n}{i}=n2^{n-1} \]

考虑 \(i = \binom{i}{1}\)，于是 LHS 相当于选 \(i\) 个，再选一个特殊的。RHS 是先枚举这个特殊的，剩下乱填，是一样的。

\[\sum\limits_{i=0}^n i^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2} \]

类似证法，考虑 \(i^2 = \binom{i}{1} + \binom{i}{2}\)。

\[\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n-i}{i}=F_{n+1} \]

\(F\) 为斐波那契数列。

归纳固然可证，然而考虑用 \(1\) 和 \(2\) 凑出 \(n\) 但是不同的排列重复计数，显然是 \(F_{n}\)，枚举 \(2\) 的个数 \(i\)，\(1\) 就是插板，\(\binom{n - 2i + i}{i}=\binom{n-i}{i}\)。

\[\sum\limits_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}=4^n \]

这个很牛。考虑组合意义本质是在构一个双射。

有个引理：
从 \((0, 0)\) 开始走，每次走到 \((x + 1, y - 1)\) 或 \((x + 1, y + 1)\)，走 \(2n - 1\) 步，要求始终保持 \(y \ge 0\) 的方案数为 \(\dbinom{2n-1}{n}\)。

Proof: 首先最后的高度 \(h\) 一定是一个奇数，且 \(h \ge 1\)，设 \(h = 2r+1\)，向上走了 \(a\) 步，向下走了 \(b\) 步，则 \(a + b = 2n - 1, a - b = h \Rightarrow a = n + r\)，乱填方案为 \(\dbinom{2n-1}{a} = \dbinom{2n-1}{n+r}\)，然后考虑经过 \(y = -1\) 的方案数，记第一次到达 \(y = -1\) 时 \(x = k\)，将前面的路径关于 \(y = -1\) 对称，两种路径构成一个双射，于是变成了 \((-2, 0)\) 到 \((2n - 1, h)\) 的方案数，同理可得方案数为 \(\dbinom{2n-1}{n+r+1}\)。

然后枚举 \(r\)，总方案数为 \(\large{\sum\limits_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{n+r} - \binom{2n-1}{n+r+1}}\)，裂项得到 \(\dbinom{2n-1}{n}\)。

上面是基础的反射容斥。

考虑原问题转化成格路计数，从 \((0, 0)\) 开始走，每次走到 \((x + 1, y - 1)\) 或 \((x + 1, y + 1)\)，走 \(2n\) 步，方案数为 \(4^n\)，另外考虑最后一个到 \(y = 0\) 的位置，此时的 \(x\) 记为 \(2k\)，前面的方案数就是 \(\dbinom{2k}{k}\)，后面的方案数，由于其不会重新到 \(y = 0\)，只能是 \(y\) 恒大于/小于 \(0\)，由于对称性只考虑 \(y\) 恒大于 \(0\)，最后方案数 \(\times 2\)。那么第一步肯定是确定的向上走，来到 \(y = 1\)，要从 \((2k, 1)\) 开始走 \(2n - 2k - 1\) 步并始终保持 \(y \ge 1\)，那么根据引理，方案数是 \(\dbinom{2n-2k-1}{n-k}\)，由于 \(2\dbinom{2n-1}{n}=\dbinom{2n}{n}\)，因为 \(\dbinom{2n}{n}=\dbinom{2n-1}{n-1}+\dbinom{2n-1}{n}\), 于是这部分方案数为 \(\dbinom{2(n-k)}{n-k}\)。得证。