一道数学题

已知 \(a, b \in N^+, ab + 1 \mid a^2 + b^2\)，求证 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}\) 为完全平方数。

证明：假设 \(\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}=k, k\) 不为完全平方数，设 \((x, y)\) 为满足条件的，\(x + y\) 最小的一组 \(x, y\)，那么 \(\dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1}=k, x^2-kyx+y^2-k=0\)。

不妨设 \(x \ge y\)，上述方程有另一根 \(t\)，则 \(t = ky - x = \frac{y^2 - k}{x}\)，显然 \(t\) 为整数，且由于 \(k\) 不为完全平方数，\(t \neq 0\)，另外有 \(\dfrac{t^2 + y^2}{ty + 1}=k\)，故 \(t > 0\)，由于 \(t = \frac{y^2 - k}{x} \le \frac{x^2 - k}{x} < \frac{x^2}{x} = x\)，故 \(t + y < x + y\)，矛盾，于是 \(k\) 为完全平方数。

大概就是一个无穷递降法。

一个简单推广：\(a, b, c \in n^+, 0 < a^2+b^2-abc \le c + 1\)，求证 \(a^2 + b^2 - abc\) 为完全平方数。

若这题有解则令 $c = $ 上题的 \(k\)，上题得证。

这题也可以用差不多的技巧，留作练习。