循环一号's Blog

摘要： 介绍 Slope Trick 常用于维护连续的分段一次凸函数。 维护拐点 该方法常用于求解最小化若干绝对值之和的问题，因为这类问题价值函数的斜率的绝对值不大，可以维护斜率变化时的拐点 \(p_{-n}\le\dots\le p_{-1}\le p_0\le p_1\le\dots\le p_n\)， 阅读全文

摘要： 定义 保序回归是指，给定偏序关系 \(\preceq\) 和代价函数 \(\phi_i(x_i)\)，求 \(\min\sum\limits_i\phi_i(x_i)\)，其中 \(i\preceq j\rightarrow x_i\le x_j\)。直观理解就是修改 \(a\) 使得 \(a\) 阅读全文

摘要： 首先令 \(d_u\) 表示 \(u\) 的儿子个数，\(c_u=\max(d_u,1)\)，选择叶子 \(l\) 的贡献就是 \[\frac{\prod c_u}{\prod\limits_{x\in\text{anc}_l}c_x} \]然后考虑组合意义，\(\frac1{\prod\limit 阅读全文

摘要： 容易发现题意等价于选出两个集合 \(A,B\) 使得 \(A\cap B=\varnothing\)，\(A,B\) 分别线性无关，求 \(\max(|A|+|B|)\)。下面默认 \(v_i\) 是列向量。 考虑对于每个 \(i\) 随机两个数 \(a_i,b_i\)，令 \[V=\begin{p 阅读全文

摘要： Sol1 考虑操作在干什么，本质是把一个数往左或往右插入到任意位置。我们考虑最终的形态，设最终每个数的位置分别为 \(b_i=i\)，每次操作相当于对于一个区间的 \(i\)，某个 \(b_{p_i}\) 单点修改，剩下的整体 +1/-1，直接这么做是困难的，因为一次操作影响的数很多，而且不好只根据 阅读全文

摘要： 首先考虑排列 \(p\) 至少需要操作多少次。倒着来，每次可以把开头或结尾插入到任意位置，求至少需要多少次才能变成 \([1,2,\dots,n]\)。 设操作了 \(k\) 次后变为 \([1,2,\dots,n]\)，那么最多用到 \(k\) 个数，剩下 \(n-k\) 个数一定是连续且递增的， 阅读全文

摘要： SG 函数用于解决公平组合游戏问题。下面游戏默认为公平组合游戏。 对于一个游戏，我们可以记为其所有后继状态的集合 \(G\)。所有必败游戏的集合为 \(P\)，必胜游戏集合为 \(N\)。 特别地，单堆 Nim 游戏记为 \(* n=\{* m: m<n\}=\{*0,*1,\dots,*(n-1) 阅读全文

摘要： 竞赛图性质题。记 \(d_u\) 表示点 \(u\) 的入度。 考虑竞赛图的性质： 缩点后的 DAG 是链状的，且拓扑序小的 SCC 向拓扑序大的连边。 若 \(u\) 所在 SCC 的拓扑序小于 \(v\) 所在 SCC 的拓扑序，则 \(d_u<d_v\)。 把点按 \(d_u\) 升序排序后， 阅读全文

摘要： 首先第一步是转化为计数问题，考虑到初始划分的方案数是区分每次操作的，每一种方案都对应了 \(k!\) 种操作，所以不用区分。那么总方案数就是 \(n!\binom{n+k}k\)，而如果划分成了 \(i\) 段，那么对应的排列及划分的方案数就是 \(i!\binom{k+1}i\)，上面的式子都容易 阅读全文

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