拉普拉斯矩阵

以下讨论均针对简单无向图。

前置知识

度矩阵

图的度矩阵 \(\operatorname{D}\) 定义为：一个对角阵，\(D_{ii}\)表示\(i\)号节点的度。

邻接矩阵

图的邻接矩阵 \(\operatorname{A}\) 定义为：若存在\(i\)号节点指向\(j\)号节点的边，则\(A_{ij}=1\)，反之则\(A_{ij}=0\).

定义

图的拉普拉斯矩阵 \(\operatorname{L}\) 定义为：\(L = D - A\)

具体描述即为：

• 若 \(i = j\), 则 \(L_{ij} = \text{degree of} \space v_i\)

• 若 \(i \ne j\)， 则

  • 若 \(v_i\) 与 \(v_j\) 相邻，则 \(L_{ij} = -1\);

  • 若 \(v_i\) 与 \(v_j\) 不相邻，则 \(L_{ij} = 0\).

性质

1. 拉普拉斯矩阵每一行（列）的和为 \(0\).

2. 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵。

   证明：

   \(\forall \vec{x} \ne \vec{0},\) （后略去向量符号）有：

   $ \begin{aligned} & \space \space \space \space \space x^{T} L x \vphantom{\sum} \\ &= x^{T} (D - A) {x} \vphantom{\sum} \\ &= x^{T} D {x} - x^{T} A x \vphantom{\sum} \\ &= \sum_{i=1}^{n} D_{ii}x_{i}^2 - \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n} \operatorname{deg}(i)x_{i}^2 - \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=i+1}^{n} [ (i,j) \in \operatorname{E} ]2 x_i x_j \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=i+1}^{n} [ (i,j) \in \operatorname{E} ] (x_i - x_j)^2 \space \ge 0 \end{aligned} $

   \(\Box\)

3. 拉普拉斯矩阵（最小）特征值 \(0\) 的代数重数等于图的连通块个数。

   证明：

   先说明为什么一定有特征值0：由性质1，全为1的列向量一定是特征值0对应的特征向量。

   假设图一共有 \(k\) 个连通块，记为 \(c_1, c_2, \dots , c_k\).

   先证特征值 \(0\) 的代数重数至少为 \(k\)：
   即证存在 \(k\) 个线性独立的列向量，满足 \(Lx = 0\).
   按如下方式构造这 \(k\) 个列向量：
   记 \(x_k = (\alpha_{k1}, \alpha_{k2}, \dots, \alpha_{kn})\)，其中 \(\alpha_{kj} = [v_j \in c_k]\)
   注意到 \(x_k\) 的构造实际上是把 \(L\) 第 \(k\) 行中非零位全部取\(1\)，剩余位全部取\(0\).
   从而易知这 \(k\) 个列向量都是满足 \(Lx = 0\) ，而线性独立性是显然的。

   再证特征值 \(0\) 的代数重数不多于 \(k\)：
   即证不存在这样一个列向量 \(z\)，满足 \(Lz = 0\)，且 \(z\) 与 \(\{ x_k \}\) 线性独立。
   反证，假设存在一个列向量 \(z\) 与 \(\{ x_k \}\) 线性独立，则必然 \(\exists l\)，对于属于连通块 \(c_l\) 的节点，\(z\) 在其对应编号上不全取 \(0\) 且不全取 \(1\)。
   考虑 \(\operatorname{L}\) 矩阵的每一行长什么样：由一个正数和若干-1构成，且和为0。
   因此相较 \(x_l\)，对于缺了一部分位置上的1的非零列向量 \(z\) 而言，\(L\) 的第 \(l\) 行与 \(z\) 相乘的结果一定不是 \(0\)（如果缺了那个正数对应位置上的1则结果一定是负数，否则一定缺了某些-1对应位置上的1即结果一定是正数），因而与 \(Lz = 0\) 的条件矛盾。
   从而说明不存在更多的特征向量了。

   综上，拉普拉斯矩阵特征值 \(0\) 的代数重数等于图的连通块个数。

   \(\Box\)

4. 拉普拉斯矩阵的次小特征值被称为图的代数连通度（Algebraic Connectivity），该值越大说明图的联通性越好。

5. 拉普拉斯矩阵任意对角线元素对应的余子式均相等。

   该性质证明见下

矩阵树定理

表述1

图的生成树的个数等于其拉普拉斯矩阵的任意对角线元素对应余子式的值。

表述2

图的生成树的个数等于其拉普拉斯矩阵非零特征值之积的n分之一。

证明

有点复杂，先鸽一下

推论

凯莱定理

\(n\) 个节点的带标号无根树总共有 \(n^{n-2}\) 种。