Fido_Puppy の小窝

摘要： 1. 拉格朗日乘数法 梯度：\(\nabla f(\vec{x})={\left[\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right]}^T\)，是一个向量，分量为 \(f(\vec{x})\) 阅读全文

摘要： 已知函数 \(f(x)=a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1\)（\(a>0\)）有唯一零点，求 \(a\) 的值。 定义域 \(x>0\)。 \(f(x)=0\)，即 \(a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1=0\)，\(e^{2x- 阅读全文

摘要： 设 \(x_1,x_2\) 是方程 \(x-\ln x=a\) 的两个不同的根，求证：\(2x_1+x_2>e\)。 令 \(f(x)=x-\ln x\)。 \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}\)，\(f'(1)=0\)，\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f( 阅读全文

摘要： 1. ALG 不等式 \(\forall a>0,b>0,a\ne b\)，有 \(\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}\)。 2. 证明 不失一般性地，令 \(a>b\)。 2.1. 证明左侧不等式成立 要证 \(\sqrt{ab}<\ 阅读全文

摘要： 给定数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，\(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，设 \(\displaystyle A_i=\sum_{j=1}^i a_j\)，有 \[\sum_{i=1}^n a_ib_i=A_nb_n+\sum_{i=1}^{n-1}A_i(b 阅读全文

摘要： 用来解决斜率和积问题。 例 1 已知椭圆的中心为 \(O\)，长轴、短轴分别为 \(2a\)，\(2b\)（\(a>b>0\)），\(P\)，\(Q\) 分别在椭圆上，且 \(OP\perp OQ\)，求证 \(\dfrac{1}{{|OP|}^2}+\dfrac{1}{{|OQ|}^2}\) 为定 阅读全文

摘要： 高中阶段，对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动。 设轨道半径 \(r\)，天体半径 \(R\)，天体质量 \(M\)，卫星质量 \(m\)，线速度 \(v\)，角速度 \(\omega\)，周期 \(T\)。 由于向心力等于万有引力，\(\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{ 阅读全文

摘要： 在一段匀速圆周运动中，设线速度为 \(v\)，角速度为 \(\omega\)，半径为 \(r\)，转过的角度为 \(\theta\)。 \(t=\dfrac{\theta}{\omega}=\dfrac{\theta r}{v}\)。 根据余弦定理，\(\dfrac{2v^2-a^2}{2v^2}= 阅读全文

摘要： \(1.\) 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，则 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\) 的最小值为（\(\color{red}{2\sqrt2}\)）。 \(\dfrac1a+\dfrac{a}{b^2}+b\ge 2\dfrac1b+b\ge2\sqrt 2\)，当 \ 阅读全文

摘要： 已知 \(O\) 为坐标原点，\(\odot M:x^2+{(y-1)}^2=1\)，\(\odot N:x^2+{(y+3)}^2=9\)，\(A\)，\(B\) 分别为 \(\odot M\) 和 \(\odot N\) 上的动点，求 \(\triangle AOB\) 面积的最大值。 法 \( 阅读全文