Fido_Puppy の小窝

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摘要： 若定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(y=h(x)\) 满足：对任意 \(x\in\mathbb{R}\)，\(h(x+2\pi)=h(x)+h(2\pi)\) 均成立，则称函数 \(y=h(x)\) 具有性质 \(P\)。 设 \(\omega\in(0,1)\)，\(f(x)=\ 阅读全文

摘要： 已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x}+ae^{1-x}\)（\(x>0\)）。 若 \(a=1\)，求 \(f(x)\) 的单调区间； 若 \(f(x)\ge 3\ln x\)，求 \(a\) 的取值范围； 若 \(a=-2\)，设 \(0<s<1<t\)，且 \(f(s)+f( 阅读全文

摘要： 设正实数数列 \(\{a_n\}\) 满足 \({a_{n+1}}^2+a_n a_{n+2}\le a_n+a_{n+2}\)，证明：\(a_{2022}\le 1\)。 \[a_{n+1}^2\le a_n+a_{n+2}-a_n a_{n+2} \]\[a_{n+1}^2-1\le a_n+a 阅读全文

摘要： 设无穷实数数列 \({a_n}\) 满足 \(0\le a_i\le c\)，且任意 \(i\neq j\) 有 \(|a_i-a_j|\ge\dfrac{1}{i+j}\)。证明：\(c\ge 1\)。 对于 \(a_1,\ldots,a_n\)，令 \(p\) 为 \(1\sim n\) 的排列 阅读全文

摘要： 证明：\(\forall a,b,c>0\)，\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32\)。 令 \(S=a+b+c\)，即证： \[\dfrac{a}{S-a}+\dfrac{b}{S-b}+\dfrac{c}{S-c}\g 阅读全文

摘要： 证明：\(\forall a,b,c>0\)，\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge a+b-2\sqrt{ab}\)。 即证：\(c+2\sqrt{ab}\ge 3\sqrt[3]{abc}\)。 由基本不等式得：\(c+2\sqrt{ab}=c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab} 阅读全文

摘要： 已知 \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，若对任意的 \(x_2-x_1\in S\)，\(f(x_2)-f(x_1)\in S\)，则有定义：\(f(x)\) 是在 \(S\) 关联的。 证明：\(f(x)\) 是 \(\{1\}\) 关联的，且是在 \([0,+\infty)\) 阅读全文

摘要： 已知双曲线 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一个顶点在直线 \(l:y=x+1\) 上，且其离心率为 \(\sqrt5\)。 求双曲线 \(E\) 的标准方程。 若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的 阅读全文

摘要： 已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为 \(\dfrac12\)，左焦点为 \(F\)，点 \(A(-2,0)\) 在 \(C\) 上。过 \(F\) 且斜率为 \(k\)（\(k\neq 0\)）的直线 \(l\ 阅读全文