Fido_Puppy の小窝

摘要： \(1.\) 若函数 \(f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}\) 有三个不同的零点，求实数 \(a\) 的取值范围。 \(f(x)=0\) 即 \(a=\dfrac{x}{x-\ln x}-\dfrac{\ln x}{x}\)，令 \(g(x)=\dfrac{x}{ 阅读全文

摘要： 已知点 \(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，动点 \(M(x,y)\) 满足直线 \(AM\) 与 \(BM\) 的斜率之积为 \(-\dfrac12\)。记 \(M\) 的轨迹为曲线 \(C\)。 求 \(C\) 的方程，并说明 \(C\) 是什么曲线； 过坐标原点的直线交 \(C\) 阅读全文

摘要： 已知椭圆 \(M:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1\)，斜率为 \(k\) 的直线 \(l\) 与椭圆 \(M\) 有两个不同的交点 \(A\)，\(B\)。设 \(P(-2,0)\)，直线 \(PA\) 与椭圆 \(M\) 的另一个交点为 \(C\)，直线 \(PB\) 与椭圆 \(M\) 阅读全文

摘要： 椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为 \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)，\(A\)、\(C\) 分别为 \(E\) 的上、下顶点，\(B\)、\(D\) 分别为 \(E\) 的左、右顶点，\(|AC|= 阅读全文

摘要： 已知 \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)，求证 \(x^2+y^2=1\)。 \[x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 \]\[x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2} \]\[x^2(1-y^2)=1+y^2(1-x^2)-2 阅读全文

摘要： 给定 \(a,b>0\)，求 \(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}\) 的最小值。 \[\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2} \]\[=1-\dfrac{ab}{a^2+3ab+ 阅读全文

摘要： 例 \(1\)：已知函数 \(f(x)=ae^x\ln x\)（\(a\ne 0\)），若 \(\forall x\in (0,1)\)，\(f(x)<x^2+x\ln a\)，求 \(a\) 的取值范围。 \[ae^x\ln x<x^2+x\ln a \]\[ae^x\ln x<x\ln(ae^x 阅读全文

摘要： 电容器电容为 \(C\)，磁感应强度为 \(B\)，导体棒长度为 \(L\)，质量为 \(m\)，重力加速度 \(g\)。 设关于时间 \(t\) 的函数 \(E(t),U(t),Q(t),I(t),v(t),a(t)\)。 \[\begin{cases} E(t)=BLv(t)\\ U(t)=E( 阅读全文

摘要： 速度为 \(v_0\) 的小球 \(A\) 撞到了静止的小球 \(B\)，小球 \(A\)、\(B\) 的质量分别为 \(m_1\)、\(m_2\)，\(A\) 和 \(B\) 之间为弹性碰撞，求碰撞后 \(A\) 的速度 \(v_1\) 和 \(B\) 的速度 \(v_2\)。 \[\begin{ 阅读全文

摘要： 若正数 \(a,b\) 满足 \(ab(a+8b)=20\)，求 \(a+3b\) 的最小值。 1. 拉格朗日乘数法 定义拉格朗日函数 \(L(a,b,\lambda)=a+3b-\lambda[ab(a+8b)-20]\)。 \(c(\vec{x})=ab(a+8b)-20\)，又因为 \(a,b 阅读全文