Fido_Puppy の小窝

摘要： 证明：\(\forall a,b,c>0\)，\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge a+b-2\sqrt{ab}\)。 即证：\(c+2\sqrt{ab}\ge 3\sqrt[3]{abc}\)。 由基本不等式得：\(c+2\sqrt{ab}=c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab} 阅读全文

摘要： 已知 \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，若对任意的 \(x_2-x_1\in S\)，\(f(x_2)-f(x_1)\in S\)，则有定义：\(f(x)\) 是在 \(S\) 关联的。 证明：\(f(x)\) 是 \(\{1\}\) 关联的，且是在 \([0,+\infty)\) 阅读全文

摘要： 已知双曲线 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一个顶点在直线 \(l:y=x+1\) 上，且其离心率为 \(\sqrt5\)。 求双曲线 \(E\) 的标准方程。 若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的 阅读全文

摘要： 已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为 \(\dfrac12\)，左焦点为 \(F\)，点 \(A(-2,0)\) 在 \(C\) 上。过 \(F\) 且斜率为 \(k\)（\(k\neq 0\)）的直线 \(l\ 阅读全文

摘要： 已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2\)，且对任意正整数 \(n\) 有 \[a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1 \]证明：对于任意正整数 \(n\)， \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}<1. \] \[a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)\\ \ 阅读全文

摘要： 求 \(\displaystyle\int_0^L\dfrac{1}{{(R^2+x^2)}^{3/2}}\mathrm{d}x\)。 三角换元：\(\dfrac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1\Rightarrow \cos^2\theta=\dfrac{1}{\t 阅读全文

摘要： 已知：小球质量为 \(m\)，回复力 \(F=-kx\)。 设平衡位置时 \(t=0\)，小球此时向正方向运动，设简谐运动振幅为 \(A\)。 设 \(x(t)\)，\(a(t)\)，\(v(t)\) 表示 \(t\) 时刻的位移，加速度，速度。 根据简谐运动位移公式，有 \(x(t)=A\sin\ 阅读全文

摘要： \(1.\) 若函数 \(f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}\) 有三个不同的零点，求实数 \(a\) 的取值范围。 \(f(x)=0\) 即 \(a=\dfrac{x}{x-\ln x}-\dfrac{\ln x}{x}\)，令 \(g(x)=\dfrac{x}{ 阅读全文

摘要： 已知点 \(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，动点 \(M(x,y)\) 满足直线 \(AM\) 与 \(BM\) 的斜率之积为 \(-\dfrac12\)。记 \(M\) 的轨迹为曲线 \(C\)。 求 \(C\) 的方程，并说明 \(C\) 是什么曲线； 过坐标原点的直线交 \(C\) 阅读全文

摘要： 已知椭圆 \(M:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1\)，斜率为 \(k\) 的直线 \(l\) 与椭圆 \(M\) 有两个不同的交点 \(A\)，\(B\)。设 \(P(-2,0)\)，直线 \(PA\) 与椭圆 \(M\) 的另一个交点为 \(C\)，直线 \(PB\) 与椭圆 \(M\) 阅读全文