匀速圆周运动向心加速度公式的推导（瞎编的）

在一段匀速圆周运动中，设线速度为 \(v\)，角速度为 \(\omega\)，半径为 \(r\)，转过的角度为 \(\theta\)。

\(t=\dfrac{\theta}{\omega}=\dfrac{\theta r}{v}\)。

根据余弦定理，\(\dfrac{2v^2-a^2}{2v^2}=\cos\theta\)。

\(a=\sqrt{1-\cos\theta}\cdot\sqrt2v\)。

那么平均加速度 \(\overline{a}=\dfrac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\theta}\sqrt2\dfrac{v^2}{r}\)。

那么匀速圆周运动向心加速度公式为 \(\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\theta}\sqrt2\dfrac{v^2}{r}\)。

那么只需要求 \(\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\theta}\)。

\[\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\theta}=\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{2\sin^2{\dfrac{\theta}2}}}{\theta}=\dfrac{\sqrt2}{2}\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sin\dfrac{\theta}2}{\dfrac{\theta}2} \]

根据洛必达法则 \(\lim_{\theta\to 0^{+}}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1\)，所以原极限为 \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)，所以匀速圆周运动向心加速度公式为 \(\dfrac{v^2}{r}\)。