小作业 8

设 \(x_1,x_2\) 是方程 \(x-\ln x=a\) 的两个不同的根，求证：\(2x_1+x_2>e\)。

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令 \(f(x)=x-\ln x\)。

\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}\)，\(f'(1)=0\)，\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty\)，\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\)，所以 \(f(x)\) 先减后增，在 \(x=1\) 处取得最小值。

不妨设 \(x_1<x_2\)，有 \(x_1-\ln x_1=x_2-\ln x_2\)。

设 \(\dfrac{x_2}{x_1}=t\)，则 \(t>1\)。

\(x_2-x_1=\ln x_2-\ln x_1\)，\(\dfrac{e^{x_2}}{e^{x_1}}=\dfrac{x_2}{x_1}=t\)，\(\dfrac{e^{tx_1}}{e^{x_1}}=t\)，\(tx_1-x_1=\ln t\)，\(x_1=\dfrac{\ln t}{t-1}\)，\(x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1}\)。

即证 \(\forall t>1\)，有 \(\dfrac{2\ln t+t\ln t}{t-1}>e\)。

令 \(g(t)=(t+2)\ln t-et+e\)，即证 \(\forall t>1\)，\(g(t)>0\)。

根据帕德逼近，\(\forall t>1,\ln t\ge \dfrac{3t^2-3}{t^2+4t+1}\)。

所以 \(\forall t>1,g(t)\ge\dfrac{(t+2)(3t^2-3)}{t^2+4t+1}-et+e=\dfrac{3(t+2)(t+1)(t-1)-e(t-1)(t^2+4t+1)}{t^2+4t+1}\)。

令 \(h(t)=3(t+2)(t+1)-e(t^2+4t+1)=(3-e)t^2+(9-4e)t+6-e\)。

\(\Delta={(9-4e)}^2-4(3-e)(6-e)>0\)。

所以 \(h(t)>0\)，即 \(g(t)>0\)，原命题得证。