ALG 不等式

1. ALG 不等式

\(\forall a>0,b>0,a\ne b\)，有 \(\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}\)。

2. 证明

不失一般性地，令 \(a>b\)。

2.1. 证明左侧不等式成立

要证 \(\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}\)，即证 \(\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b<\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)。

令 \(t=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)，即证 \(\forall t>1\)，有 \(2\ln t<t-\dfrac1t\)。

令 \(f(t)=t-\dfrac1t-2\ln t\)，\(f'(t)=1+\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}=\dfrac{t^2-2t+1}{t^2}=\dfrac{{(t-1)}^2}{t^2}>0\)，所以 \(f(t)\) 单调递增，\(f(t)>f(1)=0\)，原命题得证。

2.2. 证明右侧不等式成立

要证 \(\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}\)，即证 \(\ln a-\ln b>\dfrac{2(a-b)}{a+b}\)。

令 \(t=\dfrac{a}{b}\)，即证 \(\forall t>1\)，有 \(\ln t>\dfrac{2(t-1)}{t+1}\)，所以 ALG 不等式右侧和飘带放缩 \(>1\) 时的左侧是等价的。

令 \(f(t)=(t+1)\ln t-2(t-1)\)，\(f'(t)=\ln t+\dfrac1t-1\)，\(f''(t)=\dfrac1t-\dfrac{1}{t^2}=\dfrac{t-1}{t^2}\)，当 \(t>1\) 时，\(f''(t)>0\)，所以 \(f'(t)\) 单调递增，\(f'(t)>f'(1)=0\)，所以 \(f(t)\) 单调递增，\(f(t)>f(1)=0\)，所以原命题得证。

3. 例题

证明 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln^2\left(1+\dfrac1k\right)<1\)。

\[\sqrt{k(k+1)}<\dfrac{k+1-k}{\ln(k+1)-\ln k} \]

\[\ln(k+1)-\ln k < \dfrac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \]

\[\sum_{k=1}^n \ln^2\left(1+\dfrac1k\right)<\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}=1-\dfrac{1}{n+1}<1 \]