平移齐次化

用来解决斜率和积问题。

例 1

已知椭圆的中心为 \(O\)，长轴、短轴分别为 \(2a\)，\(2b\)（\(a>b>0\)），\(P\)，\(Q\) 分别在椭圆上，且 \(OP\perp OQ\)，求证 \(\dfrac{1}{{|OP|}^2}+\dfrac{1}{{|OQ|}^2}\) 为定值。

当 \(OP\) 为坐标轴时，\(\dfrac{1}{{|OP|}^2}+\dfrac{1}{{|OQ|}^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\)。

若 \(PQ\) 过原点，则 \(OP\) 与 \(OQ\) 重合，不符合题意。

设 \(l_{PQ}\)：\(mx+ny=1\)。

联立 \(\begin{cases}mx+ny=1\\b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0\end{cases}\)

\[b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2{(mx+ny)}^2=0 \]

\[b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2m^2x^2-2a^2b^2mnxy-a^2b^2n^2y^2=0 \]

两边同除以 \(x^2\)，令 \(k=\dfrac{y}{x}\)，有

\[b^2+a^2k^2-a^2b^2m^2-2a^2b^2mnk-a^2b^2n^2k^2=0 \]

则 \(k_{OP}\) 和 \(k_{OQ}\) 分别为方程的两根，设为 \(k_1\)、\(k_2\)。

\[k_1k_2=\dfrac{b^2-a^2b^2m^2}{a^2-a^2b^2n^2}=-1 \]

\[a^2+b^2-a^2b^2(n^2+m^2)=0 \]

\[n^2+m^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \]

所以 \(\dfrac{1}{{|OP|}^2}+\dfrac{1}{{|OQ|}^2}={\left(\dfrac{|PQ|}{|OP||OQ|}\right)}^2=m^2+n^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\)。