小作业 9

已知函数 \(f(x)=a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1\)（\(a>0\)）有唯一零点，求 \(a\) 的值。

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定义域 \(x>0\)。

\(f(x)=0\)，即 \(a\ln x+\dfrac{e^{2x}}{e^2x^a}-2x+1=0\)，\(e^{2x-2-a\ln x}=2x-1-a\ln x\)。

令 \(t=2x-2-a\ln x\)，即 \(e^t=t+1\)，根据切线放缩，\(e^t\ge t+1\)，当且仅当 \(t=0\) 时取等。

所以 \(2x-2-a\ln x=0\) 有唯一解。

令 \(g(x)=2x-2-a\ln x\)，\(g'(x)=2-\dfrac{a}{x}\) 为增函数，\(g'\left(\dfrac{a}{2}\right)=0\)，所以 \(g(x)\) 先减后增，在 \(x=\dfrac{a}{2}\) 处取得最小值，且 \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}g(x)=+\infty\)，\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\)，所以 \(g(x)\) 有唯一零点等价于 \(g\left(\dfrac{a}{2}\right)=0\)。

\(a-2-a\ln \dfrac{a}{2}=0\)，则 \(1-\dfrac{2}{a}-\ln\dfrac{a}{2}=0\)，令 \(t=\dfrac{2}{a}\)，即 \(t-1=\ln t\)，根据切线放缩，\(\ln t\le t-1\)，当且仅当 \(t=1\) 时取等，所以 \(\dfrac{2}{a}=1\)，\(a=2\)。