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摘要： 多练。 阅读全文

摘要： 题目描述了一个有向图随机游走问题，给定 $n$ 个问题，每个问题有分数 $s_i$、提交花费 $c_i$ 和通过概率 $p_i$。每个问题可以多次提交，但多次通过只算一次得分。初始有 $x$ 块钱，目标是最大化期望得分。使用动态规划，状态定义为 $f_{res,i}$ 表示剩余 $res$ 元且已解决集合 $i$ 的问题时的最大期望得分。转移方程考虑了提交每个未解决问题的成功和失败情况：$f_{res,i} = \max\{f_{res,i}, p_i \cdot (f_{res-c_j,i \cup j} + s_j) + (1-p_i) \cdot f_{res-c_j,i}\}$。最终时间复杂度为 $O(2^n n x)$，$n \le 8$。 阅读全文

摘要： 2025 gdsy 春季训练 5 - 数论 前言 因为我数论太烂了，所以写一篇随笔总结一下。 A - Eri and Expanded Sets 计数题。刻画合法条件。 观察到对一个集合进行操作，最后的结果一定是一个等差数列。 如果不是等差数列，则集合一定可以继续进行操作。 公差为 \(1\) 或集 阅读全文

摘要： Remain loving. Keep dreaming. 阅读全文

摘要： 希望大家一直记得我。 “希望大家永远忘了我。” 阅读全文

摘要： 题目描述了 $A$、$B$ 两队比赛，先胜 $n$（$n \le 10^5$）局者胜，最多 $2n - 1$ 局。玩家有 $2^{2n - 1}$ 元，每轮可对 $A$ 或 $B$ 下注，赌赢赢双倍，输则赌注归零。有一种策略使 $A$ 赢玩家赚 $2^{2n - 1}$ 元，$B$ 赢玩家亏 $2^{2n - 1}$ 元。给定输赢局面，求每轮赌注。思路是设 $g_{x,y}$ 为 $A$ 赢 $x$ 局、$B$ 赢 $y$ 局时下一局赌注，$f_{x,y}$ 为此时赚到的钱，根据初始状态和转移方程简化得到 $f_{x,y}$ 和 $g_{x,y}$ 表达式，通过推导得出通项公式。 阅读全文

摘要： 给定长为 $n$（$n \le 2 \times 10^5$）的序列 $\{ a_i \}$，$q$（$q \le 2 \times 10^5$）次询问 $l,r,x$（$|x|,|a_i| \le 10^{13}$），从 $l$ 到 $r$ 每个位置执行 $x \gets max(x,a_i - x)$ 求最终 $x$。思路：操作是以 $\lfloor \frac{a_i}{2} \rfloor$ 对称，用《插入 - 标记 - 回收》算法，询问离线，扫描 $a_i$ 时遇 $l_j$ 插 $x_j$、遇 $r_j$ 回收。用平衡树维护 $x$ 有序，记取负、加法 $tag$、交换左右儿子标记。按 $\lfloor \frac{a_i}{2} \rfloor$ 分裂树，改左树标记后合并，合并时裂树类似归并，复杂度 $O(n\log^2 n)$。 阅读全文

摘要： 题目给定 $n$（$n \le 10^5$）个带颜色（颜色 $\in \{0,1,2\}$）的点，求包含三种颜色点的最小周长矩形。题解采用偏序问题做法，点关系有两种偏序：一是 $x_0 < x_1 < x_2 \land y_1 < y_2 < y_0$；二是 $x_0 \le x_1 \le x_2 \land y_0 \le y_1 \le y_2$。第二种拆成两个二维偏序，扫描 $x$ 维求解，复杂度 $O(n \log n)$。第一种把两种颜色作数据、第三种作询问，扫描 $x$ 维，遇到数据修改线段树，遇到询问单点查询，线段树维护 $0$ 的最小 $-x + y$、$1$ 的最小 $-y$ 及两者最小和，保证标记时间戳顺序，复杂度也是 $O(n \log n)$。代码多次调用求解函数并处理不同变换情况。 阅读全文

摘要： 买 $a$ 白 $b$ 黑球，抽中白球概率 $\frac{a}{a+b}$，期望抽 $\frac{a+b}{a}$ 次（经求导证明，本题所需为 $\frac{b}{a}$）。买 $A$ 个白球，贪心策略是用其他球凑 $A$ 模单价最低球个数 $b$ 的同余类，其余买此球。$O(400^3)$ 的 DP 求 $400 \times 400$ 内买球最少价钱并处理后缀最小值。$>400 \times 400$ 时，根据同余和导数条件 $y = \sqrt{\frac{B}{a \cdot b}}$ 确定最优，从不同位置算，复杂度 $O(n w^2 + qw)$，也可用花费对应买球数求解。 阅读全文

摘要： 给定长度 $n\leq10^5$ 的序列 $\{a_i\}$（$a_i\leq10^6$），初始 $v = 1$，可至多 10^5 次乘除 $\text{lcm}\{b\}$（$\sum |b| \leq 10^6$）使 $v$ 变为 $\gcd\{a_i \times a_j\}$。思路：考虑质因数指数（10^6 内最多 7 种），操作对应指数加减。用 min - max 容斥将 $\gcd\{a_i \times a_j\}$ 转化为 $\gcd$、$\text{lcm}$ 乘除，把最小和次小指数表示为 $(\gcd\{a_i\})^2 \prod_i \frac{\gcd_{i \neq j \{a_j\}}}{\gcd\{a_j\}}$，操作数约 $2^8 + 8 \times 2^8$，复杂度 $O(n\log n + n \omega(\sqrt{a}) + \sqrt{a})$。 阅读全文

摘要： 题目要求根据给定的 $n$ 个点（$n\leq2000$）和表示编号在 $[i,j]$（$i \le j$）的点是否连通的 $a_{i,j}$（$a_{i,j}=\{0,1\}$）构造出一棵合法的树，且保证有解。思路上先考虑小区间再合并到大区间，对于只有 $a_{1,n}=1$ 的情况给出了一种构造方案（$n = 3$ 时无解）；一般情况则按顺序加点，利用树的连通块性质，当 $a_{i,n}=1$ 时，通过连边（$i,n$）等方式合并连通块，采用小到大枚举 $n$、从大到小枚举 $i$ 的方法，可证明其正确性，时间复杂度为 $O(n^2)$。代码实现了上述构造树的过程。 阅读全文

摘要： 题目中坐标轴 $1$ 到 $n$（$n\leq10^5$）有初始高度为 $0$ 的 $n$ 个房子，人在 $(0,0)$ 处，有 $m$ 次（$m\leq10^5$）修改房子高度操作，每次修改后求可见楼房数（连线不被遮挡）。思路：维护各点与 $(0,0)$ 连线斜率，可见楼房斜率严格递增且优先左边。直接暴力修改 $O(1)$、查询 $O(n)$；采用线段树，维护节点满足要求的斜率序列长度，左儿子可直接合并，右儿子按需递归合并。单点修改，被影响结点 $O(\log n)$ 个，每次合并 $O(\log n)$，修改复杂度 $O(\log^2 n)$，全局查询 $O(1)$。代码实现上述逻辑。 阅读全文

摘要： 有 $n$ 个长 $a_i$（$n,a_i\leq10^5$）的随机字符串，$f(s)$ 是 $s$ 最小循环移位起始位置（多解取最小），求两循环序列 $\{f(s_i)\}$ 期望相同位置数。思路：算相邻 $f$ 相同概率求和，定义 $h_a$ 求 $g(f(a)=x)$，归并因数更新求解，预处理因数与 $h$，复杂度 $O((n + q)因数个数 + n\sqrt{n})$，代码实现计算。 阅读全文

摘要： 待订正。 阅读全文

摘要： 题目给定长度为 $n$ 的序列，有 $q$ 次询问，每次询问区间 $[l,r]$ 的最短子区间 $[l',r']$，使 $[l,r]$ 中出现的数都在 $[l',r']$ 中出现，需输出 $[l',r']$ 的长度，$1\leq n,q\leq 2\times 10^6$，$1\leq a_i\leq n$。解题思路上，先有 $O(n^2)$ 的双指针暴力法。题解采用扫描右端点 $p$ 的方法，用数据结构维护右端点为 $p$ 时每个下标 $k$ 代表后缀的最小合法前缀 $f_k$，找出 $a_p$ 上一次出现位置 $la_p$，将询问的 $l$ 落在 $(la_p,p]$ 区间的 $f$ 对 $p$ 取 $\max$，使用并查集让 $la_p$ 指向 $la_p +1$ 以找到最大合法数据左端点 $d$。还可将问题类比二维偏序问题，转化为维护每个后缀点对权值来求解，因数据点权值维护需按顺序，所以按第二维一定顺序扫描。代码中用 zkw 线段树处理，添加了快读以优化。 阅读全文