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摘要： 题目给定 $n$（$n \le 10^5$）个带颜色（颜色 $\in \{0,1,2\}$）的点，求包含三种颜色点的最小周长矩形。题解采用偏序问题做法，点关系有两种偏序：一是 $x_0 < x_1 < x_2 \land y_1 < y_2 < y_0$；二是 $x_0 \le x_1 \le x_2 \land y_0 \le y_1 \le y_2$。第二种拆成两个二维偏序，扫描 $x$ 维求解，复杂度 $O(n \log n)$。第一种把两种颜色作数据、第三种作询问，扫描 $x$ 维，遇到数据修改线段树，遇到询问单点查询，线段树维护 $0$ 的最小 $-x + y$、$1$ 的最小 $-y$ 及两者最小和，保证标记时间戳顺序，复杂度也是 $O(n \log n)$。代码多次调用求解函数并处理不同变换情况。 阅读全文

摘要： 买 $a$ 白 $b$ 黑球，抽中白球概率 $\frac{a}{a+b}$，期望抽 $\frac{a+b}{a}$ 次（经求导证明，本题所需为 $\frac{b}{a}$）。买 $A$ 个白球，贪心策略是用其他球凑 $A$ 模单价最低球个数 $b$ 的同余类，其余买此球。$O(400^3)$ 的 DP 求 $400 \times 400$ 内买球最少价钱并处理后缀最小值。$>400 \times 400$ 时，根据同余和导数条件 $y = \sqrt{\frac{B}{a \cdot b}}$ 确定最优，从不同位置算，复杂度 $O(n w^2 + qw)$，也可用花费对应买球数求解。 阅读全文

摘要： 给定长度 $n\leq10^5$ 的序列 $\{a_i\}$（$a_i\leq10^6$），初始 $v = 1$，可至多 10^5 次乘除 $\text{lcm}\{b\}$（$\sum |b| \leq 10^6$）使 $v$ 变为 $\gcd\{a_i \times a_j\}$。思路：考虑质因数指数（10^6 内最多 7 种），操作对应指数加减。用 min - max 容斥将 $\gcd\{a_i \times a_j\}$ 转化为 $\gcd$、$\text{lcm}$ 乘除，把最小和次小指数表示为 $(\gcd\{a_i\})^2 \prod_i \frac{\gcd_{i \neq j \{a_j\}}}{\gcd\{a_j\}}$，操作数约 $2^8 + 8 \times 2^8$，复杂度 $O(n\log n + n \omega(\sqrt{a}) + \sqrt{a})$。 阅读全文

摘要： 题目要求根据给定的 $n$ 个点（$n\leq2000$）和表示编号在 $[i,j]$（$i \le j$）的点是否连通的 $a_{i,j}$（$a_{i,j}=\{0,1\}$）构造出一棵合法的树，且保证有解。思路上先考虑小区间再合并到大区间，对于只有 $a_{1,n}=1$ 的情况给出了一种构造方案（$n = 3$ 时无解）；一般情况则按顺序加点，利用树的连通块性质，当 $a_{i,n}=1$ 时，通过连边（$i,n$）等方式合并连通块，采用小到大枚举 $n$、从大到小枚举 $i$ 的方法，可证明其正确性，时间复杂度为 $O(n^2)$。代码实现了上述构造树的过程。 阅读全文

摘要： 题目中坐标轴 $1$ 到 $n$（$n\leq10^5$）有初始高度为 $0$ 的 $n$ 个房子，人在 $(0,0)$ 处，有 $m$ 次（$m\leq10^5$）修改房子高度操作，每次修改后求可见楼房数（连线不被遮挡）。思路：维护各点与 $(0,0)$ 连线斜率，可见楼房斜率严格递增且优先左边。直接暴力修改 $O(1)$、查询 $O(n)$；采用线段树，维护节点满足要求的斜率序列长度，左儿子可直接合并，右儿子按需递归合并。单点修改，被影响结点 $O(\log n)$ 个，每次合并 $O(\log n)$，修改复杂度 $O(\log^2 n)$，全局查询 $O(1)$。代码实现上述逻辑。 阅读全文

摘要： 有 $n$ 个长 $a_i$（$n,a_i\leq10^5$）的随机字符串，$f(s)$ 是 $s$ 最小循环移位起始位置（多解取最小），求两循环序列 $\{f(s_i)\}$ 期望相同位置数。思路：算相邻 $f$ 相同概率求和，定义 $h_a$ 求 $g(f(a)=x)$，归并因数更新求解，预处理因数与 $h$，复杂度 $O((n + q)因数个数 + n\sqrt{n})$，代码实现计算。 阅读全文

摘要： 待订正。 阅读全文

摘要： 题目给定长度为 $n$ 的序列，有 $q$ 次询问，每次询问区间 $[l,r]$ 的最短子区间 $[l',r']$，使 $[l,r]$ 中出现的数都在 $[l',r']$ 中出现，需输出 $[l',r']$ 的长度，$1\leq n,q\leq 2\times 10^6$，$1\leq a_i\leq n$。解题思路上，先有 $O(n^2)$ 的双指针暴力法。题解采用扫描右端点 $p$ 的方法，用数据结构维护右端点为 $p$ 时每个下标 $k$ 代表后缀的最小合法前缀 $f_k$，找出 $a_p$ 上一次出现位置 $la_p$，将询问的 $l$ 落在 $(la_p,p]$ 区间的 $f$ 对 $p$ 取 $\max$，使用并查集让 $la_p$ 指向 $la_p +1$ 以找到最大合法数据左端点 $d$。还可将问题类比二维偏序问题，转化为维护每个后缀点对权值来求解，因数据点权值维护需按顺序，所以按第二维一定顺序扫描。代码中用 zkw 线段树处理，添加了快读以优化。 阅读全文

摘要： 题目给定一棵 $n$ 个点（$n\leq 8000$）的无根树，每个点有取值范围 $[l_i,r_i]$，要求选择某些点染成特殊点，计算满足所有点离距离它最近的特殊点的距离 $\in [l_i,r_i]$ 的染色方案数，空间限制 $128M$。解题采用 $O(n^2)$ 的树形 DP，设状态 $f_{i,j,0/1}$ 表示点 $i$ 距离最近的特殊点距离是 $j$ 且该点在子树内/外，转移时逐个加入儿子考虑，因相邻点距离最近特殊点距离相差不超 $1$，每个状态有 $O(1)$ 种转移。为满足空间要求，借鉴 dsu on tree 思想，先搜重儿子再搜轻儿子，轻儿子最多跳 $\log$ 次，使空间复杂度降为 $O(n \log n)$。 阅读全文

摘要： 题目给定长度为 $n$ 的含 `L`、`R`、`?` 的操作序列及长度为 $m$ 的一维坐标轴（$1$ 左为墙，$m$ 右为悬崖），要求计算每个起点 $k\in[1,m]$ 出发，重复执行操作序列无数次后仍存活的合法操作序列数量（$n,m\leq500$）。解题时先将操作序列抵消成 `L` 拼 `R` 形式，设 $f(x)$ 为从 $x$ 出发经一次操作序列到达的位置，分 $f(x)\leq x$ 和 $f(x)>x$ 两种情况，分别用 $dp_{i,j}$ 和 $do_{i,j,0/1}$ 进行动态规划计算，时间复杂度为 $O(n^3)$。 阅读全文

摘要： 云剪贴板。 阅读全文

摘要： 在给定的$n$个点、$m$条边（含重边和自环，边权$w$）的连通无向图上，有$q$次询问，每次给定$s,t,d,k$，表示从点$s$到$t$，初始工资$d$，每经一边工资异或边权，可选择$k$个时刻使工资翻倍，求最大最终工资（$n,m\leq 10^5$，$q \leq 10$，$d,w \leq 2^{16} - 1$，$k \leq 40$）。思路是先考虑$k = 0$时，用DFS树和基本环构建线性基求解；$k>0$时，将问题转化为找$k$个点进行翻倍操作，利用FWT计算相关线性空间，通过从高位贪心、保留FWT形式优化转移，过程中对大于2的大质数取模，时间复杂度$O(qV (k + \log V))$ 。 阅读全文

摘要： 降维、二次偏序、总结。 阅读全文

摘要： [P11364 [NOIP2024] 树上查询] 给出 $n$ 个结点树，定义 $\text{LCA}^*(l,r)$ 为 $[l,r]$ 结点最近公共祖先，有 $q$ 次询问，每次给定 $l,r$，求满足 $[l',r'] \subseteq [l,r]$ 且长度 $\geq k$ 的最大 $\text{dep}_{\text{LCA}^*(l',r')}$（$n,q \leq 5\times10^5$）。思路：先得 $O(qn^2)$ 暴力解，将 $d_i = \text{dep}_{\text{lca}_{i,i+1}}$ 建笛卡尔树，预处理 $d_i$ 左右极大区间 $[x_i,y_i]$，根据 $[l,r]$ 与 $[x_i,y_i]$ 交长条件化简合法状态，分情况扫描询问，用数据结构维护查询，复杂度 $O(n \log n)$。 阅读全文

摘要： 给定含 $n$ 个顶点的有根树及 $m$ 个二元组 $(x_i,y_i)$ ，定义 $D(a,b)$ 为在以 $a$ 为根子树中但不在以 $b$ 为根子树中的顶点个数，需计算以这些二元组为顶点的完全图的最小生成树，边权为 $D(x_i,x_j)+D(x_j,x_i)+D(y_i,y_j)+D(y_j,y_i)$ ，约束为 $1\le n\le 10^6,1\le m\le 10^5$ 。思路方面，先将距离公式 $d_{x,y}$ 按不同祖先关系分类，求解最小生成树考虑Boruvka算法。原树套树方法复杂度 $5\log$ 过高，经分类讨论，按不同祖先关系（如两维都是祖先、两维都是后代、一维祖先一维后代等）优化，每种情况复杂度为 $O(\log)$ 或无 $\log$ ，最终总时间复杂度达 $O(n \log^2)$ 。 阅读全文