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摘要： [P11364 [NOIP2024] 树上查询] 给出 $n$ 个结点树，定义 $\text{LCA}^*(l,r)$ 为 $[l,r]$ 结点最近公共祖先，有 $q$ 次询问，每次给定 $l,r$，求满足 $[l',r'] \subseteq [l,r]$ 且长度 $\geq k$ 的最大 $\text{dep}_{\text{LCA}^*(l',r')}$（$n,q \leq 5\times10^5$）。思路：先得 $O(qn^2)$ 暴力解，将 $d_i = \text{dep}_{\text{lca}_{i,i+1}}$ 建笛卡尔树，预处理 $d_i$ 左右极大区间 $[x_i,y_i]$，根据 $[l,r]$ 与 $[x_i,y_i]$ 交长条件化简合法状态，分情况扫描询问，用数据结构维护查询，复杂度 $O(n \log n)$。 阅读全文

摘要： 给定含 $n$ 个顶点的有根树及 $m$ 个二元组 $(x_i,y_i)$ ，定义 $D(a,b)$ 为在以 $a$ 为根子树中但不在以 $b$ 为根子树中的顶点个数，需计算以这些二元组为顶点的完全图的最小生成树，边权为 $D(x_i,x_j)+D(x_j,x_i)+D(y_i,y_j)+D(y_j,y_i)$ ，约束为 $1\le n\le 10^6,1\le m\le 10^5$ 。思路方面，先将距离公式 $d_{x,y}$ 按不同祖先关系分类，求解最小生成树考虑Boruvka算法。原树套树方法复杂度 $5\log$ 过高，经分类讨论，按不同祖先关系（如两维都是祖先、两维都是后代、一维祖先一维后代等）优化，每种情况复杂度为 $O(\log)$ 或无 $\log$ ，最终总时间复杂度达 $O(n \log^2)$ 。 阅读全文

摘要： 题意为统计字符串中满足以下条件的子串：一是子串为偶数长度回文，二是子串由多个偶数回文拼接而成。解法核心在于：利用唯一分解性，即每个合法子串可唯一拆分为极短偶回文组合（如 `abba|abba`）；通过预处理，用Manacher算法找到每个起点最短的偶回文；采用DP计数，设 \(dp[i]\) 表示以位置 \(i\) 起始的满足条件的子串数量，\(f_i\) 为从位置 \(i\) 开始的极短回文长度，通过公式 \(dp[i] = 1 + dp[i + f_i]\) 计算，总时间复杂度为 \(O(n)\) 。 阅读全文

摘要： 如果没有进队，就去学文化课，如果进了队，就晚一点去学文化课。 阅读全文

摘要： 不要红温了。 阅读全文

摘要： 积性函数、欧拉函数、莫比乌斯函数 阅读全文

摘要： 对于 $n×m$（$n,m \leq 3000$）的 $01$ 矩阵，要求每行、列恰有 $1$ 或 $2$ 个 $1$，求填法数。先给出 $O(nm^2)$ 的 DP 解法，后改用组合计数。通过枚举每行含 $1$ 个或 $2$ 个 $1$ 的行数，算出对应列数，将问题转化为球桶组合问题，针对难点用特定方法处理，得出式子并实现 $O(\min(n,m)^2)$ 复杂度 。 阅读全文

摘要： 本题要求对 $n×m$ 方格（$n×m \leq 10^7$）的每列涂非空连续段，且相邻列涂色连续段有交，求涂色方案数。起初设 $f_{i,l,r}$ 表示第 $i$ 列涂 $[l,r]$ 的方案数，直接计算交非空较麻烦，通过求全集减不交转化，能做到 $O(nm^2)$ 复杂度。进一步优化，考虑直接转移状态量为 $O(nm)$ 的 $s$ 数组，通过引入辅助数组 $t0$、$t1$ 进行递推，初始状态给定，最终答案为 $f0_{n,m}$，时间复杂度优化至 $O(nm)$。 阅读全文

摘要： Katex 手册。 阅读全文

摘要： 题目给定 $n$ 点 $m$ 边 DAG（$n\le 10^5$，$m\le 2\times 10^5$，$k\le \min(50,n - 1)$），起点为 $1$，容量均为 $1$，需对所有 $i\in[2,n]$ 求 $\min(f_i,k)$（$f_i$ 是从 $1$ 到 $i$ 的最大流）。思路是将边转化为假点，借助 LGV 引理求解。因起点集合大，建 $k$ 个虚点连向起点集。按拓扑序扫描终点集，对矩阵 $M$ 行向量求线性基，每条真边做 $O(k^2)$ 转移，总时间复杂度 $O((n + m)k^2)$ 。 阅读全文

摘要： 给定 $3\leq n \leq 5000$，$2\leq k \leq (n + 1)/2$，求特定序列 $a$ 中长为 $k$ 的非 $0$ 下降子序列个数和。先将序列转化为图，因算子序列难，改算“彩虹”连边方式，利用第二类斯特林数得出答案公式，预处理相关值，时间复杂度 $O(n^2)$。 阅读全文

摘要： 该问题是用 $m$ 种各有 $c_i$ 个的字符组成长度为 $n$ 的字符串，求所有合法字符串不同后缀数组的数量。思路是先明确后缀数组对应的不等号序列相关性质，因直接枚举后缀数组及判定合法性复杂，转而通过不等号序列与 $rk'$（$rk_{p_i + 1}$）的关系进行计数。合法不等号序列可通过 DP 计数，利用容斥原理计算每种相邻大小关系对应的 $rk'$ 数量。通过设 $f_{i,j,k}$ 进行 DP 转移，结合容斥操作计算，初始 $f_{0,0,0}=1$，答案为 $n! \times f_{m,n,0}$，时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$（第一维滚掉）。 阅读全文

摘要： 插值。 阅读全文

摘要： 研究合法序列（元素取自 $[1,k]$ 且互异，值为元素乘积）所有不同序列值和模素数 $p$ 的问题（$k \leq 10^9$，$n \leq 500$ 等限制）。思路是求选数方案权值和乘 $n!$，利用 DP 设 $f_{i,j}$ 求解，分析得 $F_n(x)$ 为 $2n$ 次多项式，经递推和拉格朗日插值求结果，时间复杂度 $O(n^2)$。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文