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摘要： 对于给定的分层 DAG，在起点和终点数量相同且要求路径无公共点的情况下，求偶数交点方案数与奇数交点方案数之差。具体思路为：对于相邻两层，规定每层节点数均为 $n$，此时“交点数”等同于排列的逆序对数，通过构建邻接矩阵并利用 LGV 引理求出所有 $n×n$ 子方阵的行列式并相加；对于多层情况，在第一层和最后一层之间添加一层，分别构造表示第一层与中间层、最后一层与中间层连边关系的邻接矩阵 $A$ 和 $B$，依据比内柯西公式可知 $|AB|$ 符合题目要求，又因为矩阵乘法满足结合律，所以所有邻接矩阵连乘得到的行列式即为答案，该方法时间复杂度为 $O(n^4)$。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 矩阵的秩。 阅读全文

摘要： 行列式、余子式和 Laplace 展开、积和式、比内柯西公式。 阅读全文

摘要： 线段树套平衡树。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 邻项交换法。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 给定长度 \(n \leq 2×10^5\) 的排列 \(A\)，要拆成子序列 \(B\)、\(C\)，使 \(B\) 前缀最大值与 \(C\) 前缀最小值个数和最大。用 DP 求解，初态 \(f_{i,x,y}\) 暴力转移复杂度 \(n^3\)。优化时按 \(x > y\) 和 \(x < y\) 分类讨论，前者求 LIS 和 LDS，后者利用前驱后继转移，部分情况用 set、树状数组等处理，先预处理再倒序枚举更新 。 阅读全文

摘要： 给定\(n\)个点、\(k\)个连通块（含点信息\(s_i\)），添加\(k - 1\)条边使其连通，依连通块度数\(d_i\)计算加边方案贡献。利用 prufer 序列结合凯莱公式分析，因式子难优化且\(k\leq7000\)，采用\(O(k^2)\)动态规划求解，定义\(f_{i,j}\)表示处理到第\(i\)段以\(j\)结尾的方案贡献和，经特定转移计算最终答案。 阅读全文

摘要： 本题通过将原数列转化为差分数组 $\{c_i\}$ ，并推导得出 $\sum_{k = 1}^n \frac{k(k + 1)}{2} c_k = M$。构建生成函数 $[x^M] F(x)=\prod_{k = 1}^{\min(n,\sqrt{M})} \frac{1}{1 - x^{\frac{k(k + 1)}{2}}}$，利用递推式子 $f_{n,i}=f_{n - 1,i}+f_{n,i - t}$ 以$O(M\sqrt{M})$ 时间复杂度求解。对于凸壳斜率正负都存在的情况，枚举凸壳最低点 $p$ 将数列分左右部计算，通过类似递推处理 $p$ 移动情况并避免重复计算，同时考虑原凸壳二阶导数非负，枚举上移量并将相关项系数加入答案。 阅读全文

摘要： vegetable just more practise. 阅读全文

摘要： 本题给出一棵以 $1$ 为根、含 $n$ 个点且各结点有点权 $a_i$ 的树，有 $m$ 次操作，分查询点权、修改路径/子树/距离某点不超过 $d$（$d \le 10,n,m \le 10^5$）的点权这 $4$ 种操作类型。 思路上先考虑重剖，因 $d$ 范围尝试暴力维护操作，分析操作律及标记永久化等情况与对应时间复杂度，后指出操作特性问题，决定在 dfs 序上维护，采用在线段树里打标记及类似下放标记的方法。 阅读全文

摘要： 给定树（$n\leq100$）求合法划分方案价值和（对 $mod$ 取模）。思路上用树形DP，具体步骤：先刻画合法子集特点后，一是计算合法划分方案数，分点为集合头与一般结点讨论，点是集合头时，枚举儿子、其未用一般结点数量及选或不选情况来转移；是一般结点时，同样枚举相关情况转移。二是求原问题，按涂色模型理解，对加入点分是头结点（再分涂色情况）、是一般结点讨论，定义对应状态，按不同情况给出状态转移方程，最终答案为 $f_{1,0,0,1}$。 阅读全文

摘要： 模板。 阅读全文