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摘要： 给定 $3\leq n \leq 5000$，$2\leq k \leq (n + 1)/2$，求特定序列 $a$ 中长为 $k$ 的非 $0$ 下降子序列个数和。先将序列转化为图，因算子序列难，改算“彩虹”连边方式，利用第二类斯特林数得出答案公式，预处理相关值，时间复杂度 $O(n^2)$。 阅读全文

摘要： 该问题是用 $m$ 种各有 $c_i$ 个的字符组成长度为 $n$ 的字符串，求所有合法字符串不同后缀数组的数量。思路是先明确后缀数组对应的不等号序列相关性质，因直接枚举后缀数组及判定合法性复杂，转而通过不等号序列与 $rk'$（$rk_{p_i + 1}$）的关系进行计数。合法不等号序列可通过 DP 计数，利用容斥原理计算每种相邻大小关系对应的 $rk'$ 数量。通过设 $f_{i,j,k}$ 进行 DP 转移，结合容斥操作计算，初始 $f_{0,0,0}=1$，答案为 $n! \times f_{m,n,0}$，时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$（第一维滚掉）。 阅读全文

摘要： 插值。 阅读全文

摘要： 研究合法序列（元素取自 $[1,k]$ 且互异，值为元素乘积）所有不同序列值和模素数 $p$ 的问题（$k \leq 10^9$，$n \leq 500$ 等限制）。思路是求选数方案权值和乘 $n!$，利用 DP 设 $f_{i,j}$ 求解，分析得 $F_n(x)$ 为 $2n$ 次多项式，经递推和拉格朗日插值求结果，时间复杂度 $O(n^2)$。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 给定含 $n$ 点 $m$ 边的 DAG 与常数 $k$，定义 $f(l,r)$ 求满足条件的区间数。先处理弱化问题判断不相交路径，预处理矩阵。原问题借枚举终点集合求矩阵秩确定路径数，用时间戳线性基支持操作。利用单调性分段，时间复杂度 $O(nnk^2 + mk)$，瓶颈是线性基插入与矩阵预处理 。 阅读全文

摘要： 本题研究 $k$ 个在数轴上位置为 $x_1,x_2,\dots,x_k$ 的机器人，在接下来 $n$ 秒内，每秒各有 $\frac{1}{2}$ 概率不动、$\frac{1}{2}$ 概率向正方向移动一个单位距离且同时移动时，互相不碰撞的概率（结果对 $998244353$ 取模，$k \le 10,n,x \le 1000$）。解题思路是先求不碰撞方案数再除以 $2^{nk}$，通过加时间维将问题转化为分层图路径问题，利用 LGV 引理结合容斥原理计算方案数。因枚举终点序列 $\{y_i\}$ 不可行，考虑状压 DP，设 $f_{i,s}$ 表示处理到坐标 $i$ 且已确定部分起点终点状态为 $s$ 的合法方案数，通过枚举是否有起点选择位置 $i$ 作为终点进行转移，最终答案为 $f_{x,2^k - 1}$。 阅读全文

摘要： 对于给定的分层 DAG，在起点和终点数量相同且要求路径无公共点的情况下，求偶数交点方案数与奇数交点方案数之差。具体思路为：对于相邻两层，规定每层节点数均为 $n$，此时“交点数”等同于排列的逆序对数，通过构建邻接矩阵并利用 LGV 引理求出所有 $n×n$ 子方阵的行列式并相加；对于多层情况，在第一层和最后一层之间添加一层，分别构造表示第一层与中间层、最后一层与中间层连边关系的邻接矩阵 $A$ 和 $B$，依据比内柯西公式可知 $|AB|$ 符合题目要求，又因为矩阵乘法满足结合律，所以所有邻接矩阵连乘得到的行列式即为答案，该方法时间复杂度为 $O(n^4)$。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 矩阵的秩。 阅读全文

摘要： 行列式、余子式和 Laplace 展开、积和式、比内柯西公式。 阅读全文

摘要： 线段树套平衡树。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文

摘要： 邻项交换法。 阅读全文

摘要： 无。 阅读全文