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摘要： 无。 阅读全文

摘要： 思路：一条路径能被某最小生成树覆盖，意味着路径边必选，在此情况下求最小生成树花费应等于无限制时的花费。先有$O(n^3 \alpha)$暴力，即枚举点对做最小生成树；$O(n^2 \log)$暴力则预处理各边权$w$下仅考虑$ 阅读全文

摘要： 题意：给定包含 `a,b,c` 的字符串，长度 $n \leq 2 \times 10^5$，求所有区间权值和，区间权值为出现次数最多字母的个数减去出现次数最少字母的个数（出现次数不为0）。思路：先统一式子，包含3种字母区间 $val_{l,r} = \frac{|c_a - c_b| + |c_b - c_c| + |c_c - c_a|}2$ ，包含2种字母区间 $val_{l,r} = |c_a - c_b|$ ，1种字母区间无贡献。为简化维护，贡献乘2去分母，枚举两个字母 $A,B$ ，对于含 $A,B$ 区间算 $2|c_A - c_B|$ ，含三种字母区间减多余贡献算 $-|c_A - c_B|$ 。枚举区间右端点 $r$ ，用 $cnt_x$ 存差值为 $x$ 的区间个数及偏移量 $tag$ 从 $r - 1$ 转移，时间复杂度为线性 。 阅读全文

摘要： 思路：对于超集子集相关操作，采用折半技巧。先考虑单点加、子集求和情况，设 $s_{x,y}$ 表示前10位严格是 $x$，后10位是 $y$ 的子集权值和，单点加枚举 $y$，子集求和枚举 $x$，时间复杂度 $O(q 2^{\frac n 2})$。对于子集加和超集加，分析其对子集求和的贡献，超集加贡献为 $[S \subseteq T] 2^{|T|-|S|}$，子集加贡献拆成两半 $2^{|S_1 \& T_1|} 2^{|S_2 \& T_2|}$，固定 $S_1$ 枚举 $T_2$ 计算贡献到 $f_{S_1,T_2}$，查询时固定 $T_2$ 枚举 $S_1$ 并结合另一半贡献求解，总时间复杂度 $O(q 2^{\frac n 2})$ 。 阅读全文

摘要： 广义串并联图 参考资料 https://www.luogu.com.cn/article/llclwny8 阅读全文

摘要： 题意：箱子有 $n$ 个数字（$n \leq 5×10^5$，$a_i \leq 10^6$），每次抽数，得分是已抽数 $\gcd$，为 $1$ 时游戏结束，操作后可选择放回或不放回，求最优策略下期望最大、最小操作数。思路：最大期望操作数 $E_1$，每次放回，利用操作 $k$ 次 $\gcd = s$ 的概率 $p_{k,s}$ 及 $s \mid a_i$ 的个数 $c_s$ 求 $f_s$ 进而得 $E_1$；最小期望操作数 $E_2$，每次不放回，类似方法，通过 $g_s$ 求 $f_s$ 得 $E_2$ 。 阅读全文

摘要： 题意：对长度为 $n$（$n \leq 2×10^5$ 且 $2 \nmid n$）的排列进行奇偶排序，求轮数。奇数轮对奇数位、偶数轮对偶数位，若前数大于后数则交换。思路：将排列转化为每行01串处理，求每行把后置0移到前端的轮数。设 $f_k$ 为第 $k$ 个0到正确位置轮数，$pos_k$ 为其位置，$f_k = \max(pos_k - k + [2 \nmid pos_k], f_{k - 1}+1)$ （特判 $pos_k = k$ ）。只关心 $f_{cnt_0}$ ，可用线段树维护相关最大值，时间复杂度 $n \log n$ 。 阅读全文

摘要： 目前只有题一。 阅读全文

摘要： 题意：有$n$个城市、$m$个人机，初始人机在城市$a_i$ ，人机通过$2×2$矩阵以$\min +$卷积结算分数，其对ZJ评分是结算分数异或和。有$q$个在线且可持久化操作：1. $[l,r]$人机离开原城市结算并到城市$c$；2. 城市$c$人机矩阵乘矩阵$w$；3. 输出人机$x$离开ZJ的评分。$n,m,q \leq 2×10^5$。思路：无持久化时，用set维护人机状态，对各操作：操作2记录$tag$ ，操作1乘对应矩阵结算并更新段，操作3查询线段树。可持久化时，用线段树替代颜色段，操作2记录$tag$ ，操作1打标记，操作3合并操作序列，通过对每个节点维护操作序列首尾及中间贡献、利用版本树及倍增数组求城市矩阵乘积、可持久化线段树找同城市最近祖先等方法实现，时间复杂度$O(n \log^2)$ 。 阅读全文

摘要： 题意：给定$n$个节点树，给节点染$[0,m]$色，叶子有颜色要求$c_i$ ，求染色方案数，$n,m \leq 2×10^5$。思路：先设$f_{u,i}$为$u$子树中颜色$i$叶子未全找到对应节点的方案数，$f_{u,0}$为全找到的方案数，通过特定公式DP求解，复杂度$O(n^2)$。因仅子树有颜色$i$叶子时$f_{u,i}$非$0$，改用线段树合并，动态开点线段树维护$f$（仅非$0$部分）与$f_{u,0}$ ，空间$O(n \log m)$ ，线段树维护多种标记辅助合并 。 阅读全文

摘要： 题意：有 \(n\) 只虫子，第 \(i\) 只虫子想吃第 \(a_i\) 只虫子，虫子按随机排列 \(p\) 顺序行动，若 \(a_{p_i}\) 虚弱则被吃，否则 \(p_i\) 变虚弱，求被吃掉虫子的期望数量，\(n \le 500\)。思路：构建 \(i\) 到 \(a_i\) 的内向基环树森林，拆分算各虫子被吃概率。对第 \(i\) 只虫子，需满足 \(t_{a_i} < t_i\)，\(\forall a_j = a_i \land t_{a_i} < t_j, t_i < t_j\) 及 \(a_i\) 行动时变虚弱。先判断前两个条件，满足则递归。设 \(f_i\) 为前 \(i\) 个点满足前两条件的方案数，用容斥原理，设 \(dp_{i,D}\) 表示考虑到链上第 \(i\) 个点，\(\sum_{j \le i} d_j = D\) 的方案数，利用插板法结合容斥系数 \((-1)^{\sum d_{i + 1}}\) 求解，对每个链头操作，时间复杂度 \(O(n^3)\)。 阅读全文

摘要： 题意：略。思路：利用$f_i^2 g_i = i$，考虑拆贡献算，枚举$\le \sqrt N$的质因子算$f$。对于质因子$p$，求包含$p^{2k}$的数的个数，通过求至少$2k$次的数的个数 $\lfloor \frac{N}{p^{2k}} \rfloor$ 来计算，$p$ 的总贡献为 $\prod_{p \le \sqrt N} p^{\sum_k \lfloor \frac{N}{p^{2k}} \rfloor}$，枚举$p,k$计算 $p_{2k}$ 和逆元。由于直接求$N!$时间复杂度为 $O(N)$，所以采用分段打表来解决。 阅读全文

摘要： 题意：给定一棵\(n\)个点的树和\(m\)个链\((u, v)\) ，需选出\(k\)个链，使得存在一个点\(x\)在这\(k\)个链中都出现，一个方案的代价是选中最长链长度减去最短链长度，求最小代价，其中\(n \le 5 \times 10^4\)，\(k \le m \le 10^4\)。思路：先对树进行DFS预处理深度和父节点。将链按长度排序，用bitset存每个链包含的点，维护每个点在当前双指针区间\([l, r]\)内出现次数。遍历排序后的链，双指针移动，左指针\(l\)固定时找最小的\(r\)使\([l, r]\)内存在一个点出现\(k\)次（即存在合法方案），此时代价为\(len_r - len_l\) ，不断更新最小代价，时间复杂度\(O(nm)\) ，bitset主要用于优化空间 。 阅读全文

摘要： 可撤销并查集。 阅读全文

摘要： 题意：给定初始无边的\(n\)个点无向图及\(q\)个操作，包括连边（边权\(w\)，\(0 \leq w \leq 10\)）、删边和查询两点间权值最大值最小的路径权值，\(n,q \leq 10^5\)且保证无重边。思路： - **线段树分治 + 可撤销并查集**：因\(w\)小，建\(11\)个图，分别包含\(w \leq k(k \in [0,10])\)的边。对操作按时间排序后在时间轴上分治，用可撤销并查集维护区间有效边。每条边有效区间在线段树上用\(\log\)个节点表示，分治到节点时加入或撤销边。非叶子区间先加边，递归处理左右子区间，再撤销边；叶子区间若为查询则判断两点是否连通，时间复杂度\(O(Vq\log^2q)\) 。 - **LCT做法**：先离线预处理边的删除时刻，用LCT维护每个图的生成树及删边操作。添加边时，若两点已连通且新边删除时刻晚，贪心地找出两点路径上删除时间最早的边判断是否替换，复杂度\(O(Vq \log q)\) 。 阅读全文