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摘要： 题目给定一棵 $n$ 个点（$n\leq 8000$）的无根树，每个点有取值范围 $[l_i,r_i]$，要求选择某些点染成特殊点，计算满足所有点离距离它最近的特殊点的距离 $\in [l_i,r_i]$ 的染色方案数，空间限制 $128M$。解题采用 $O(n^2)$ 的树形 DP，设状态 $f_{i,j,0/1}$ 表示点 $i$ 距离最近的特殊点距离是 $j$ 且该点在子树内/外，转移时逐个加入儿子考虑，因相邻点距离最近特殊点距离相差不超 $1$，每个状态有 $O(1)$ 种转移。为满足空间要求，借鉴 dsu on tree 思想，先搜重儿子再搜轻儿子，轻儿子最多跳 $\log$ 次，使空间复杂度降为 $O(n \log n)$。 阅读全文

摘要： 题目给定长度为 $n$ 的含 `L`、`R`、`?` 的操作序列及长度为 $m$ 的一维坐标轴（$1$ 左为墙，$m$ 右为悬崖），要求计算每个起点 $k\in[1,m]$ 出发，重复执行操作序列无数次后仍存活的合法操作序列数量（$n,m\leq500$）。解题时先将操作序列抵消成 `L` 拼 `R` 形式，设 $f(x)$ 为从 $x$ 出发经一次操作序列到达的位置，分 $f(x)\leq x$ 和 $f(x)>x$ 两种情况，分别用 $dp_{i,j}$ 和 $do_{i,j,0/1}$ 进行动态规划计算，时间复杂度为 $O(n^3)$。 阅读全文

摘要： 云剪贴板。 阅读全文

摘要： 在给定的$n$个点、$m$条边（含重边和自环，边权$w$）的连通无向图上，有$q$次询问，每次给定$s,t,d,k$，表示从点$s$到$t$，初始工资$d$，每经一边工资异或边权，可选择$k$个时刻使工资翻倍，求最大最终工资（$n,m\leq 10^5$，$q \leq 10$，$d,w \leq 2^{16} - 1$，$k \leq 40$）。思路是先考虑$k = 0$时，用DFS树和基本环构建线性基求解；$k>0$时，将问题转化为找$k$个点进行翻倍操作，利用FWT计算相关线性空间，通过从高位贪心、保留FWT形式优化转移，过程中对大于2的大质数取模，时间复杂度$O(qV (k + \log V))$ 。 阅读全文

摘要： 降维、二次偏序、总结。 阅读全文

摘要： [P11364 [NOIP2024] 树上查询] 给出 $n$ 个结点树，定义 $\text{LCA}^*(l,r)$ 为 $[l,r]$ 结点最近公共祖先，有 $q$ 次询问，每次给定 $l,r$，求满足 $[l',r'] \subseteq [l,r]$ 且长度 $\geq k$ 的最大 $\text{dep}_{\text{LCA}^*(l',r')}$（$n,q \leq 5\times10^5$）。思路：先得 $O(qn^2)$ 暴力解，将 $d_i = \text{dep}_{\text{lca}_{i,i+1}}$ 建笛卡尔树，预处理 $d_i$ 左右极大区间 $[x_i,y_i]$，根据 $[l,r]$ 与 $[x_i,y_i]$ 交长条件化简合法状态，分情况扫描询问，用数据结构维护查询，复杂度 $O(n \log n)$。 阅读全文

摘要： 给定含 $n$ 个顶点的有根树及 $m$ 个二元组 $(x_i,y_i)$ ，定义 $D(a,b)$ 为在以 $a$ 为根子树中但不在以 $b$ 为根子树中的顶点个数，需计算以这些二元组为顶点的完全图的最小生成树，边权为 $D(x_i,x_j)+D(x_j,x_i)+D(y_i,y_j)+D(y_j,y_i)$ ，约束为 $1\le n\le 10^6,1\le m\le 10^5$ 。思路方面，先将距离公式 $d_{x,y}$ 按不同祖先关系分类，求解最小生成树考虑Boruvka算法。原树套树方法复杂度 $5\log$ 过高，经分类讨论，按不同祖先关系（如两维都是祖先、两维都是后代、一维祖先一维后代等）优化，每种情况复杂度为 $O(\log)$ 或无 $\log$ ，最终总时间复杂度达 $O(n \log^2)$ 。 阅读全文

摘要： 题意为统计字符串中满足以下条件的子串：一是子串为偶数长度回文，二是子串由多个偶数回文拼接而成。解法核心在于：利用唯一分解性，即每个合法子串可唯一拆分为极短偶回文组合（如 `abba|abba`）；通过预处理，用Manacher算法找到每个起点最短的偶回文；采用DP计数，设 \(dp[i]\) 表示以位置 \(i\) 起始的满足条件的子串数量，\(f_i\) 为从位置 \(i\) 开始的极短回文长度，通过公式 \(dp[i] = 1 + dp[i + f_i]\) 计算，总时间复杂度为 \(O(n)\) 。 阅读全文

摘要： 如果没有进队，就去学文化课，如果进了队，就晚一点去学文化课。 阅读全文

摘要： 不要红温了。 阅读全文

摘要： 积性函数、欧拉函数、莫比乌斯函数 阅读全文

摘要： 对于 $n×m$（$n,m \leq 3000$）的 $01$ 矩阵，要求每行、列恰有 $1$ 或 $2$ 个 $1$，求填法数。先给出 $O(nm^2)$ 的 DP 解法，后改用组合计数。通过枚举每行含 $1$ 个或 $2$ 个 $1$ 的行数，算出对应列数，将问题转化为球桶组合问题，针对难点用特定方法处理，得出式子并实现 $O(\min(n,m)^2)$ 复杂度 。 阅读全文

摘要： 本题要求对 $n×m$ 方格（$n×m \leq 10^7$）的每列涂非空连续段，且相邻列涂色连续段有交，求涂色方案数。起初设 $f_{i,l,r}$ 表示第 $i$ 列涂 $[l,r]$ 的方案数，直接计算交非空较麻烦，通过求全集减不交转化，能做到 $O(nm^2)$ 复杂度。进一步优化，考虑直接转移状态量为 $O(nm)$ 的 $s$ 数组，通过引入辅助数组 $t0$、$t1$ 进行递推，初始状态给定，最终答案为 $f0_{n,m}$，时间复杂度优化至 $O(nm)$。 阅读全文

摘要： Katex 手册。 阅读全文

摘要： 题目给定 $n$ 点 $m$ 边 DAG（$n\le 10^5$，$m\le 2\times 10^5$，$k\le \min(50,n - 1)$），起点为 $1$，容量均为 $1$，需对所有 $i\in[2,n]$ 求 $\min(f_i,k)$（$f_i$ 是从 $1$ 到 $i$ 的最大流）。思路是将边转化为假点，借助 LGV 引理求解。因起点集合大，建 $k$ 个虚点连向起点集。按拓扑序扫描终点集，对矩阵 $M$ 行向量求线性基，每条真边做 $O(k^2)$ 转移，总时间复杂度 $O((n + m)k^2)$ 。 阅读全文