wing_heart(:

摘要： 思路：若区间包含的\(a_i\)完整，最小众数为\(1\)；若\(a_l\)只有后缀\([x,a_l]\)且\(a_r\)只有前缀\([1,y]\)，当且仅当\(\forall i \in [l,r], a_i \ge x\)时最小众数是\(x\)，否则为\(1\)。为方便求解，先求出所有最小众数为\(x(x>1)\)的子区间并贡献\(x - 1\)，再让所有子区间统一贡献\(1\)。利用小根笛卡尔树，对于笛卡尔树上节点\(u\)，在其左右子树分别取\(l\)、\(r\)计算贡献。左端点有\(siz_{ls} +1\)种取法，右端点有\((sum_{rs}+a_u) - (x - 1)(siz_{rs}+1)\)种取法，每个方案贡献\(x - 1\) ，经化简可得\(u\)子树总贡献为\((siz_{ls}+1) ((sum_{rs}+a_u)\frac{a_u(a_u - 1)}{2} - (siz_{rs}+1) \frac{(a_u - 1)a_u(2a_u - 1)}{6})\) ，该问题可线性求解，单\(\log\)做法能简化代码 。 阅读全文

摘要： 题意：\(n\)种食物（\(n\leq5000\)）可组成\(2^n\)种串串，共\(2^{2^n}\)种选串串集合方案，求每种食物至少出现2次的方案数并对输入大质数取模。思路：利用容斥原理，设\(f_i\)表示至少\(i\)种食物至多出现1次，答案为\(\sum_{i = 0}^n (-1)^i f_i\)。最初得\(O(n^3)\)的\(\sum_{i = 0}^n (-1)^i \binom{n}{i} 2^{2^{n - i}} \sum_{j = 0}^i \binom{i}{j} \sum_{k = 0}^j {j \brace k} 2^{(n - i)k}\)，经推导\(\sum_{j = k}^i {j \brace k} \binom{i}{j} = {i + 1 \brace k + 1}\)，优化为\(O(n^2)\)的\(\sum_{i = 0}^n (-1)^i \binom{n}{i} 2^{2^{n - i}} \sum_{k = 0}^i 2^{(n - i)k} {i + 1 \brace k + 1}\)，通过快速幂与递推第二类斯特林数求解 。 阅读全文

摘要： 题意：给定长为\(n\)序列\(\{a_i\}\)与正整数\(k\)，\(n,m \leq 2×10^5\)，\(1 \leq a_i \leq 10^6\)，有\(m\)次操作，包括修改\(a_x = y\)和查询\([l,r]\)内长度为\(k\)且两两互质的子区间个数。思路： 1. **刻画不互质关系**：将\(a_i\)分解质因数，每个质因数用set维护有相同质因数且小于当前位置的最大位置，以确定\(p_i\)（\(a_i\)最近的使\(gcd(a_i, a_{p_i}) > 1\)且\(p_i < i\)的位置）。修改\(a_x\)时，更新相关set与\(p_{next(x)}\)及\(p_x\)，时间复杂度\(O((n + m)\log^2)\)。 2. **区间查询实现**：因\(k\)固定，维护以\(x\)为左端点的\([x, x + k - 1]\)区间合法性。\(p_i > i - k\)时，标记\([i - k + 1, p_i]\)不合法。通过线段树维护区间最小值及最小值个数，将求无标记子区间个数转化为查询线段树，从而解决查询操作。 阅读全文

摘要： - **思路一**：先考虑 $m = 1$ 的情况，通过推导得出维护 $sum_{i \in [0,k]} = \sum_{j \in [l + 1,n]} s_{j}^i$ 的方法，时间复杂度为 $O(Nk^2)$。对于 $m \neq 1$ 的情况，枚举矩形的 $y1,y2,x1$，按照类似思路计算，时间复杂度为 $O(N\sqrt{N}k^2)$。 - **思路二**：同样先看 $m = 1$ 时，对答案表达式进行展开和变形，利用后缀和计算，得出时间复杂度为 $O(Nk)$。当 $m \neq 1$ 时，枚举矩形的 $y1,y2,x1$，对答案表达式展开，同样利用后缀和计算，时间复杂度为 $O(N \sqrt{N} k)$，相比思路一少一个 $k$ 的复杂度 。 阅读全文

摘要： 题意：给定有向图，$n,m,q \leq 5 \times 10^5$，有4种操作：摧毁边$(u,v)$、摧毁点$u$所有入边、修复边$(u,v)$、修复点$u$所有入边，每次操作后判断是否能发起总攻，条件为所有点出发可到环且每个点出度$\leq 1$。思路：能发起总攻时图为内向基环树森林，关键是维护每个点出度是否恰好为1。因操作2、4难以直接维护出度，利用入度和等于出度和等于$n$这一条件，为每个点随机权值$w_u$，用$f_u = \sum_{v \in {in_u}} w_v$表示点$u$所有入边权值和，通过维护$f_u$来判断。若$\sum f_u = \sum w_u$，则大概率每个点出度为1 ，时间复杂度线性。 阅读全文

摘要： 题意：给定有向图，$n,m,q \leq 5 \times 10^5$，有4种操作：摧毁边$(u,v)$、摧毁点$u$所有入边、修复边$(u,v)$、修复点$u$所有入边，每次操作后判断是否能发起总攻，条件为所有点出发可到环且每个点出度$\leq 1$。思路：能发起总攻时图为内向基环树森林，关键是维护每个点出度是否恰好为1。因操作2、4难以直接维护出度，利用入度和等于出度和等于$n$这一条件，为每个点随机权值$w_u$，用$f_u = \sum_{v \in {in_u}} w_v$表示点$u$所有入边权值和，通过维护$f_u$来判断。若$\sum f_u = \sum w_u$，则大概率每个点出度为1 ，时间复杂度线性。 阅读全文

摘要： 题意：飞机有 $n$ 排座位（$1 \le m \le n \le 1000000$），$m$ 人登机，前后各有一个入口，每人有分配座位（可能相同），登机时若座位被占则朝进入方向找空位，若走到尽头未找到则愤怒，求无人生气的座位分配及登机方案数对 $10^9 + 7$ 取模结果。思路：将问题转化为概率问题，看成环形座位（环长 $n + 1$，在 $1,n$ 衔接处设座位 $0$），每个人随机分配座位和方向，因每个座位等价，一个座位被占据概率是 $\frac{m}{n + 1}$，则 $0$ 未被占用概率为 $\frac{n + 1 - m}{n + 1}$，而方案总数为 $(2(n + 1))^m$，所以合法方案数为 $(2(n + 1))^m \times \frac{n + 1 - m}{n + 1}$ 。 阅读全文

摘要： 可持久化平衡树。 阅读全文

摘要： 题意：给定 $n$ 个区间 $[L_i, R_i]$，每次询问 $l, r, x$，对于 $i \in [l, r]$，从左至右枚举 $i$，若 $x \in [L_i, R_i]$，则 $x \gets x + 1$。思路：离线时可采用《插入 - 标记 - 回收》算法，用平衡树实现单 $\log$ 复杂度。在线时，通过预处理区间 $[a, b]$，计算 $x \in [0, V]$ 走过该区间后增加值，利用线段树处理询问。线段树节点 $u$ 表示区间 $[a, b]$，由于值域 $V$ 大，将值域分成若干段，每段增加值相同，用 vector 存储这些段信息。建树时，通过归并两个儿子的 vector 合并区间，复杂度 $O(n \log n)$。查询时，对每个线段树节点二分查找 $x$ 在对应 vector 位置并更新 $x$，时间复杂度 $O(m \log^2 n)$，空间复杂度与时间复杂度相同 。 阅读全文

摘要： 题意：给定两棵树 $S$ 和 $T$，$n \leq 5 \times 10^3$，判断 $S$ 能否通过特定操作与 $T$ 同构，若能则构造方案。操作要求选择点 $u$ 和点 $v$ 满足 $2 \mid dis(u, v)$，以 $u, v$ 路径上任意一点为根交换子树 $u, v$，操作次数不能超过 $2n$。思路：先分析操作性质，按深度奇偶对树节点黑白染色，操作只能在同色点对间进行且操作后点度数不变，所以 $S$ 和 $T$ 同色同度数点数量相同是存在方案的必要条件，且该条件也是充要的。构造方案时，先将 $S$ 和 $T$ 中相同颜色相同度数的点配对。以 $1$ 为根对 $S$ 操作，对每个点，按 $T$ 从深度浅到深的顺序，若当前点有失散儿子和假儿子，且假儿子不是失散儿子的祖先，直接交换子树；若假儿子是失散儿子的祖先且失散儿子不是叶子，可通过交换失散儿子的一个儿子和当前点来调整，如同反向 $(v, u)$ 的链；若失散儿子是叶子，可先不管，因为非叶子节点找到正确父亲后叶子自然正确。时间复杂度 $O(n^2)$，操作次数 $< n$ 。 阅读全文

摘要： 题意：给定\(n\)个人（\(n \leq 10^6\)）健身需求和\(m\)个器材（\(m \leq 10^9\)），每人在\([l_i, r_i]\)某天使用器材\(p_i\)，求使健身房有人天数最少的安排。思路： - **贪心+线段树**：先离散化器材。按\(l\)降序更新\(r_i\)，用动态开点线段树找器材最后未占用时刻，判断是否有解。再按\(r\)升序，通过线段树二分找健身房有人且器材\(p\)有空的最早时刻。虽时间\(O(n \log V)\)，但空间\(O(n \log V)\)需卡空间。 - **优化贪心**：先更新\(r_i\)，从小到大枚举时间\(t\)。每个器材维护set，\(l_i = t\)时将\(i\)加入\(p_i\)的set；\(r_i = t\)时，\(i\)在\(r_i\)健身，从其他非空器材set选\(r\)最小者当天健身。时间\(O(n \log n)\)，空间\(O(n)\)，更优且无需卡常。 阅读全文

摘要： 题意：给定长度 $n \leq 5 \times 10^5$ 的 popcount 序列 $\{a_i\}$，求其对应的原序列。思路：观察发现 popcount 序列具有倍增构造性质，将原序列 $[0,2^k - 1]$ 的第 $k$ 位改成 $1$ 可得到 $[2^k,2^{k + 1} - 1]$，表现为相同颜色框右边比左边加 $1$ 。由于难以从大框框确定分组，故从小框框开始。通过比较相邻元素，若左边加 $1$ 等于右边则分为一组，每个框框仅记首位数字用于比较。不断分组，直至整个序列分组完成。时间复杂度 $O(n)$，计算为 $n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots + 2 + 2 + 2 + \cdots + 2 = O(n)$，过程中记得判断无解情况。 阅读全文

摘要： 题意：对递归$n$层（$n \le 10^7$）的闪现树，求深度$k \in [l,r]$（$l,r \le 10^7$）的点数。思路：一是递推法，设$f_i$为深度$i$根点数，依规则递推并修正多算部分，结合非根点数$g_i = 2f_{i - 1}$与叶子节点得解；二是生成函数法，设$F(x)$为根生成函数，依递归关系推导，利用等比数列公式及二项式展开求系数，结合非根与叶子节点生成函数，线性时间内求出深度在$[l,r]$的点数 。 阅读全文

摘要： 题意：给定一棵有 \(n\) 个点（\(n \le 1000\)）的树，每条边 \((u, v)\) 有参数 \(c\) 表明 \(u\) 和 \(v\) 谁必须排在前面，求满足所有边条件的排列种数。思路：采用容斥原理解决。先以 \(1\) 为根，将所有 \(c = 1\) 的边看作无限制，求方案数，再通过容斥调整。可在树形DP中带上容斥系数，朴素DP设 \(f_{u,p,s}\) 复杂度超了，将 \(s\) 改为 \(0/1\) 表示其奇偶性。也可利用外向树拓扑序计数公式 \(\frac{n!}{\prod_{i = 1}^n siz_i!}\) 来解决，设 \(f_{u,s}\) 表示满足 \(u\) 的连通块大小为 \(s\) 且在转移时带上容斥系数，整棵子树的方案数，时间复杂度为树形背包的 \(O(n^2)\)。 阅读全文

摘要： 题意：给定 $n$ 个数（$n \le 200$，$a_i \le 5 \times 10^4$），求所有满足至少有 $k$ 个子集 $S$ 使得 $\sum_{i \in S} a_i = w$ 的 $w$ 的异或和，$k \le 7$，时限 $0.5s$。思路：朴素背包 DP 复杂度为 $O(n \sum a_i)$，考虑到 $k$ 较小且 $\sum a_i = 10^7$，利用 bitset 优化。原本背包中 $f_i$ 表示和为 $i$ 的方案数，加一个数 $a$ 时 $f'_{i+a} \gets f_{i}$，这里使用 bitset 做位移和按位或操作。对于 $k>1$ 的情况，定义 $f_{k,i}$ 表示考虑到当前数字时，和为 $i$ 的方案数是否达到 $k$，通过 $f_k \gets f_k \mid (f_{k - 1} \ll a)$ 递推，时间复杂度为 $O(k \frac{n \sum a_i}{w})$，能满足时限要求。 阅读全文