随笔分类 - 数学分析
摘要：掌握二元函数高阶偏导数的求法，以及二元函数的中值定理和泰勒公式。若混合偏导数连续，则相等。利用泰勒公式进行近似计算。掌握二元函数极值的充分和必要条件，以及求法。掌握例11中最小二乘法。 难点：复合函数的高阶偏导数的计算。极值点与稳定点和最值点的关系。 重点习题：例1、例3、例4、例5、例7、例11
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摘要：掌握三元函数的方向导数与梯度的概念和求法（可微时方向导数的公式），及其意义。 难点：方向导数与偏导数的关系。沿x轴正方向的导数为对x的偏导数，沿y轴正方向的导数为对y的偏导数。负方向加上负号。 重点习题：例1-例3
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摘要：掌握二元函数的复合函数求导法则——链式法则，以及二元函数的一阶微分形式不变性。 链式法则：先对中间变量求偏导数，中间变量再对自变量求偏导数，最后把所有可能加起来。 利用树状图可以更加直观地找到所有可能。 重点习题：例2、例3，例5、例7
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摘要：掌握二元函数全微分和偏导数的定义及求法，以及可微与偏导数之间的关系。掌握可微性的几何意义及利用全微分进行近似计算。 难点：1. 可微、偏导数存在、连续可微之间的关系。可微一定偏导数存在，反之不成立。全微分中的A是x的偏导数，B是对y的偏导数。连续可微一定可微，反之不成立。 2. 可微、连续、偏导数存
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摘要：掌握二元函数连续性的定义及性质，以及有界闭区域上连续函数的性质（最大最小值定理，一致连续性定理、介值性定理）。 注意: 二元函数连续性与函数的定义域有关（见可去间断点定义下面的例子）。 难点：1. 孤立点一定是连续点。聚点是连续点的等价条件是极限值等于函数值。 2. 二元函数对x和y分别连续，不一定
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摘要：掌握二元函数重极限和累次极限的定义及它们的关系，能够求出给定的二元函数重（累次）极限。特别注意例3中判断极限不存在的方法。 难点：1. 重极限定义中要注意（1）必须为聚点 （2）空心邻域 （3）与定义域有关。 2. 用定义证明重极限时选取方邻域还是圆邻域，如例1为方邻域，例2为圆邻域。 3. 利用定
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摘要：掌握平面点集中的相关概念（邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、区域、有界点集），能够判断开集，闭集、有界集、区域、及它们的聚点、界点等，以及上的完备性定理（柯西准则、闭域套定理及推论、聚点原理、有界覆盖原理）。掌握二元（多元）函数的概念。 难点：1. 内点、外点、界点、聚点、孤立点的判
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摘要：了解欧拉公式的内容和意义。 复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。 将中的x取作π
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摘要：不做要求。有能力的同学掌握贝塞尔不等式、黎曼-勒贝格定理和收敛定理的证明。 贝塞尔（Bessel，Friedrich Wilhelm，1784～1846）德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到不来梅一家出口公
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摘要：能够求出以2l为周期的函数的傅里叶展开式。能够把定义在上的函数展开成余弦级数或正弦级数。 重点习题：例1、例4
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摘要：掌握函数正交的概念，和三角函数系的正交性。能够求出以为周期的函数的傅里叶展开式，并掌握其收敛性。 重点习题：例1、例3 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日），男爵，法国数学家、物理学家。 傅里
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摘要：掌握泰勒级数的定义和收敛性。牢记例题2-6（多项式函数，正弦函数、余弦函数、以自然对数为底的指数函数、1+x的对数函数、1+x的幂函数）中初等函数的幂级数展开式，并且可以从已知的展开式出发，通过变量替换、四则运算、逐项求积分或导数等方法，间接求出函数的幂级数展开式。 重点习题：例3、例4、例5、例7
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摘要：掌握幂级数的概念，以及幂级数的一致收敛性、连续性、可积性、可微性和运算。会求幂级数的收敛半径。 重点习题：例1、例4、例7 雅克·所罗门·阿达马（Jacques Solomon Hadamard，1865年12月8日－1963年10月17日），法国数学家。1865年12月8日生于凡尔赛，1963年1
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摘要：掌握一致收敛函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性定理。掌握一致收敛函数项级数的连续性、逐项积分、逐项求导定理。 重点习题：例2、例3 迪尼定理(Dini theorem)是一个分析方向的数学定理，提出者是意大利数学家、政治家乌利塞·迪尼(Ulisse Dini)，是关于实值函数序列的一致收敛性判
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摘要：掌握函数列一致收敛和内闭一致收敛的定义，及函数列一致收敛的等价条件。掌握函数项级数一致收敛和内闭一致收敛的定义，及函数项级数一致收敛的等价条件。会使用M判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断函数项级数是否一致收敛。 重点习题：例1-例3, 例5-例7
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摘要：掌握交错级数的莱布尼兹判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。掌握绝对收敛级数的定义和性质。 重点习题：例3、习题1（4） 黎曼重排定理，也被称为黎曼级数定理，是由19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼提出的。这个定理揭示了关于条件收敛的无穷级数的一个特殊性质：如果级数条件收敛，那么它的项通
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摘要：掌握正项级数的比较判别法、比式判别法、根式判别法和积分判别法。 重点习题：例3、例4、例7、例12 让·勒朗·达朗贝尔 达朗贝尔（1717～1783），法国数学家，哲学家。又译达朗伯。1717 年11月 17 日生于巴黎，1783年10月29日卒于同地。他是圣让勒隆教堂附近的一个弃婴 ，被一位玻璃匠
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摘要：掌握级数和级数收敛的定义，以及收敛级数的柯西准则和性质。 重点习题：例1、例2、例3
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摘要：掌握无穷积分的性质和判别方法：比较判别法，柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。 重点习题：例1-例3 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，在很多数学领域做出了开创性的工作。他最著名的一个结果是首次完整给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证
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摘要：掌握瑕积分的性质和判别方法：比较判别法，柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。 重点习题：例1、例2
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