随笔分类 -  数学分析

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§5. 函数的凸性与拐点
摘要：掌握凸函数的不同定义和等价条件，可以利用函数的凸性证明题目。掌握拐点的定义和判别方法。 重点习题：第1、3、5题。 阅读全文
posted @ 2023-09-13 09:36 mengqing80 阅读(38) 评论(0) 推荐(0)
§4. 函数的极值与最大(小)值
摘要：可以利用极值的充分条件判断函数的极值和最值。 注意极值和最值的区别和联系。极值不一定是最值，最值也不一定是极值。如果在内点取得最值，最值一定是极值。极值可能有很多，但最值只能有一个。 重点习题：第1、4题。 阅读全文
posted @ 2023-09-13 09:33 mengqing80 阅读(184) 评论(0) 推荐(0)
§3. 泰勒公式
摘要：掌握带有不同余项的泰勒公式，并能运用泰勒公式求极限（例4）和进行近似计算（例6、7）。牢记几种常见函数的麦克劳林展开式（例1）。 重点习题：第2、3题。 布鲁克·泰勒（英语：Brook Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，逝世于伦敦，是一名英国数 阅读全文
posted @ 2023-09-13 09:24 mengqing80 阅读(323) 评论(0) 推荐(0)
§2. 柯西中值定理和不定式极限
摘要：掌握柯西中值定理和洛必达法则，能够熟练运用洛必达法则求不定式的极限。 学习掌握例9-13、15中的解题方法，如何将不定式极限化为零比零型和无穷比无穷型极限。 注意罗尔定理，拉格朗日定理和柯西中值定理之间的递进关系与几何意义。 重点习题：第3、4、5题。 纪尧姆·弗朗索瓦·安托万·洛必达侯爵（Guil 阅读全文
posted @ 2023-09-13 08:54 mengqing80 阅读(151) 评论(0) 推荐(0)
§1. 拉格朗日定理和函数的单调性
摘要：掌握罗尔定理，拉格朗日定理，达布定理及其推论，会运用导数判断函数的（严格）增减性。 重点习题：第2、5、6、7题。 米歇尔·罗尔（Michel Rolle，1652年4月21日－1719年11月8日），是法国数学家。他著名的有罗尔定理（1691年）。他也发明了现在的标准记法以表示x的n次根。 他出生 阅读全文
posted @ 2023-09-13 08:41 mengqing80 阅读(360) 评论(0) 推荐(0)
第五章 总练习题
摘要：第1、2题考察导数的定义。 第5题的结论与反例需要掌握。 第6题考察左右导数与导数的关系。 第7、8题考察复合函数求导法则。 第4、9题的结论需要记住。 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:42 mengqing80 阅读(9) 评论(0) 推荐(0)
§5. 微分
摘要：掌握微分的定义以及可微和可导之间的关系。掌握微分的运算法则，特别是一阶微分形式的不变性。掌握高阶微分的定义，注意高阶微分没有形式的不变性。能够运用微分进行近似计算和误差估计。 重点习题：第2、3、4题，通过这些习题体会掌握微分的定义与求法。 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:34 mengqing80 阅读(52) 评论(0) 推荐(0)
§4. 高阶导数
摘要：掌握二阶及二阶以上导数的定义，并能用定义求具体函数的高阶导数。记住例1、例2、例3中常见函数的高阶导函数。记住参数方程的二阶导数的公式（公式3）。掌握莱布尼兹公式。 重点习题：第3、4、5、6题，通过这些习题体会掌握高阶导数的定义与求导方法。 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:31 mengqing80 阅读(45) 评论(0) 推荐(0)
§3. 参变量函数的导数
摘要：掌握参变量方程的求导法则。记住参变量函数的求导公式，和极坐标下向径与切线的夹角的正切公式. 等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写为或 因此叫做“对数”螺线。之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:18 mengqing80 阅读(348) 评论(0) 推荐(0)
§2. 求导法则
摘要：掌握导数的四则运算、反函数的导数和复合函数的导数的求导法则。能够运用对数求导法求全是乘法或除法的复杂函数的导数（例11）。 注意例12中的技巧，对于底数和指数都是函数的情况，通过取对数转化成可以计算的形式。牢记基本求导法则和基本初等函数导数公式。 重点习题：第2、3题，通过这些习题体会掌握求导法则。 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:09 mengqing80 阅读(55) 评论(0) 推荐(0)
§1. 导数的概念
摘要：掌握导数（单侧导数）和导函数的定义，会求函数的导数和导函数。掌握导数的几何意义--切线斜率。 掌握极值点和稳定点的定义，以及极值点和最值点以及极值点和稳定点的关系；掌握费马定理。 重点习题：第4、6、7题，通过这些习题体会掌握（左右）导数的定义与几何意义。 皮埃尔·德·费马（Pierre de Fe 阅读全文
posted @ 2023-09-11 09:02 mengqing80 阅读(230) 评论(0) 推荐(0)
第四章总练习题
摘要：第1题需要构造新的连续函数，利用连续函数的性质证明。 第3题考察有理数在实数中的稠密性。 第4、6题考察连续函数的介值性。 第7题考察单调有界原理。 第11题考察一致连续，需要将大的区间分成两个小的区间，利用不同的性质分别证明一致连续，从而在大的区间上一致连续。 阅读全文
posted @ 2023-09-08 11:13 mengqing80 阅读(7) 评论(0) 推荐(0)
§3. 初等函数的连续性
摘要：知道一切初等函数在其定义域上都连续。 重点习题：第1、2题，记住第2题提示中的变换。 阅读全文
posted @ 2023-09-08 10:55 mengqing80 阅读(104) 评论(0) 推荐(0)
§2. 连续函数的性质
摘要：若函数在点连续，则在点有极限，且极限值等于函数值，从而可以得到：局部有界性，局部保号性，四则运算和复合函数连续性等性质。其中复合函数连续性可以理解为极限号和函数交换位置。 若连续函数严格单调，则有反函数，而且反函数也连续。 本节重点为闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理，介值性定理（根的存在定理） 阅读全文
posted @ 2023-09-08 10:51 mengqing80 阅读(435) 评论(0) 推荐(0)
§1. 连续性概念
摘要：掌握连续的概念，特别是连续和函数有极限的关系以及不同点。掌握各种间断点的定义，能够区分不同的间断点。掌握例3的结论和证明方法。 注意函数有极限与连续的定义的差别 对任意的, 存在, 使得当时, 有. 对任意的, 存在, 使得当时, 有. 连续的意义在于极限可以与函数符号交换。 若在点连续，则，也在连 阅读全文
posted @ 2023-09-05 11:38 mengqing80 阅读(206) 评论(0) 推荐(0)
第三章总练习题
摘要：注意一下结论: 1、设,,一般情况下推不出. 例如：，. 2、 若数列满足下列条件之一, 则是无穷大数列: (1) (2)() , 3、 设，那么：(1)； (2) 若()，则. 阅读全文
posted @ 2023-09-01 08:40 mengqing80 阅读(8) 评论(0) 推荐(0)
§5. 无穷小量与无穷大量
摘要：1. 掌握无穷小量和无穷大量的定义与联系；能够区分无穷小量和有界量，无穷大量和无界量；掌握无穷小量阶的比较（特别是等价的无穷小量）；能够运用定理3.12（等价的无穷小在乘法和除法中可以相互替换）求函数的极限。 2. 掌握求曲线斜渐近线和垂直渐近线的方法。 重点习题：第2题重点考察定理3.12，第4题 阅读全文
posted @ 2023-09-01 08:31 mengqing80 阅读(377) 评论(0) 推荐(0)
§4. 两个重要的极限
摘要：记住,,并能够运用这两个极限求其它函数的极限。 常用到二倍角公式： 重点习题：第1、2题。 阅读全文
posted @ 2023-09-01 08:27 mengqing80 阅读(18) 评论(0) 推荐(0)
§3. 函数极限存在的条件
摘要：掌握归结原理、单调有界原理（只适用于四种单侧极限）和柯西准则。能够利用归结原理和柯西准则判断一个函数极限不存在。 注意每种趋向方式中语言的不同。 重点习题：第1、2、3、4题。 海因里希·爱德华·海涅 (Heinrich Eduard Heine) 1821.3.16-1881.10.21 德国数学 阅读全文
posted @ 2023-09-01 08:23 mengqing80 阅读(267) 评论(0) 推荐(0)
§2. 函数极限的性质
摘要：掌握六种类型的函数极限的：唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性和四则运算。能够熟练运用这些性质求函数极限。 重点习题：第1、2题。第3、5题的结论需要记住。 阅读全文
posted @ 2023-09-01 08:18 mengqing80 阅读(112) 评论(0) 推荐(0)

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