§3. 复变量的指数函数·欧拉公式

了解欧拉公式的内容和意义。

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

将中的x取作π就得到：e^(iπ)+1=0.

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

 

关于欧拉公式的视频

https://www.bilibili.com/video/BV19T4y1b7BV/

https://www.bilibili.com/video/BV1U8411U7SM/

https://www.bilibili.com/video/BV1q64y1V72w/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.6

 

 

 

 

亚伯拉罕·棣莫弗(Abraham De Moivre)；法国裔英国籍的数学家，1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦。

 

棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱。棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响。随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义。那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学。在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感。

 

1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆（Ozanam）。在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作。

 

1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来。正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销。随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国。据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦。但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国。随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的。

 

抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习。一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了。后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了。这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究。

 

1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意。1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员。

 

棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重。哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏。据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”。1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重。1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士。1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员。

 

棣莫弗终生未婚。尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒。自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师。他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口。他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间。为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事。

 

棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达20小时.当时有一等差级数。当24小时高睡不起时，他便在贫寒中离开了人世。

 

他的主要贡献在概率论，1711年写成《抽签的计量》一文，1718年修改扩充为《机会论》(The Doctrine of Chances)。这是概率论较早的专著之一，首次定义了独立事件(Independent Event)的乘法定理，给出二项分布(Binomial Distribution)的公式，讨论了掷骰和其他赌博的许多问题。他在1730年出版的另一专著《分析杂论》中最早使用概率积分。将概率论用于保险事业，于1725年出版过专门论著《论终身年金》。