【信号与系统】04 - 离散时间信号

1. 离散时间傅里叶变换

1.1 离散LIT系统

  前面三篇专注于讨论连续信号,建立了比较完备的连续LIT系统的理论。在工业应用、尤其是计算机科学中,数据、信号都是数字化的,信号在时间上甚至数值上都是离散的。离散时间的信号(简称离散信号),可能原本就是离散的(比如统计数据),也有可能是连续信号的采样值。在历史上,离散信号与连续信号的理论是并行发展的,成熟之后才汇总到了一起。总而言之,离散信号更便于存储和处理,有着更广泛的使用领域。

  本篇并行于前面的连续信号理论,集中阐述离散信号的对应结论。那些浅显无差异的概念或结论,这里会忽略或一带而过,而把更多的笔墨放在有本质差异的部分。一个离散信号\(x[n]\)是指离散时间序列\(\{x[i], i\in\Bbb{Z}\}\),虽然也可以用数轴表示\(x[n]\),但一般我们并不关心非整数点的函数值。周期信号的周期\(N\)也是整数,后面将会看到,这是造成与连续系统差异的根本原因。离散LIT系统的定义完全类似连续LTI系统,以及因果性、无记忆性、稳定性等都可以照搬过来。

  解析离散LIT时,同样可以先把信号做线性拆解(式(1)),其中\(\delta[n]\)仅在\(n=0\)时有非零值\(1\),它被称为单位脉冲函数。然后假定\(\delta[n]\)的系统响应为\(h[n]\),它称为单位脉冲响应,相比单位冲激响应,\(h[n]\)的值是真正的响应值。最后用累加的方法,便知道信号的系统输出为式(2)。整个过程只有离散值的累加,不再有奇异函数和积分,理解起来自然顺畅。甚至微分、积分的概念也变成了简单的差分、求和,比如\(\delta[n]\)的求和函数\(u[n]\)如图,它被叫做单位阶跃函数,反过来\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一次差分函数。

\[x[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]\delta[n-k]\tag{1}\]

\[x[n]\to y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]h[n-k]\tag{2}\]

  式(2)同时还定义了离散信号的卷积和,它同样具有交换律结合律分配率,且证明更加直白。卷积和的性质,同样也为系统的串联、级联提供了方便的工具。另外显然,因果系统满足式(3)左,有限持续的因果系统也叫有限脉冲响应(FIR),否则叫无限脉冲响应(IIR)。稳定系统的充要条件是绝对可和(式(3)右),信号趋于0的速度关系到系统的响应速度。

\[y[n]=\sum_{k=0}^{\infty}h[k]x[n-k];\;\;\sum_{k\in\Bbb{Z}}|h[k]|<\infty\tag{3}\]

1.2 傅里叶变换

  离散周期信号\(x[n]\)可以看成是连续周期信号\(x(t)\)的采样,甚至可以基于\(x(t)\)的FS讨论\(x[n]\)的FS,但讨论中无法摆脱\(x(t)\)本身,难以生成有用的结论。故这里的周期离散信号\(x[n]\)要求序列自身的周期性,即周期为整数\(N\),并以此重新建立分解、变换的理论。先定义周期为\(N\)的信号的基波频率\(\omega_0=2\pi/N\),当然它本质上还是角速度。然后考察所有基波\(\{E_k[n]=e^{jk\omega_0n}\}\),显然有\(E_{k+mN}[n]=E_k[n]\),故实质上只有\(N\)个不同的基波,以后\(k\)的取值仅限于\(\langle N\rangle=\{0,1,\dots,N-1\}\)。

  为了进一步讨论LIT的性质,这里同样要定义特征函数和特征值,式(4)表明离散指数函数\(z^n\)就是特征函数。后面将会看到,离散系统的系统函数以\(z=e^s\)为主要参数,而不同于连续系统中以\(s\)为主要参数,故直接将式子写成关于\(z\)的函数。当然在傅里叶变换中,为了突出频谱系数,暂时还是写成\(e^{j\omega n}\)。离散时间傅里叶级数(DTFS)就是把周期为\(N\)的信号分解为特征函数系\(\{e^{jk\omega_0n}\}\)的线性和(式(5)左),然后利用特征函数在周期内的“正交性”(乘积和为0),求得具体的频谱系数\(a_k\)(式(5)右)。离散信号的值都是有限的,不存在也不需要定义奇异函数,也不存在不连续点和无穷抖动。所以离散信号的DTFS总是存在的,且逆变换不存在误差,这使得理论简单而广泛有效。

\[z^n\to H(z)z^n;\;\;H(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}h[k]z^{-k}\tag{4}\]

\[x[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_ke^{jk\omega_0n};\;\;a_k=\dfrac{1}{N}\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\omega_0n}\tag{5}\]

  类似于FT推导,对一般离散信号\(x[n]\),将其长为\(N\)的截断扩展为周期信号\(\tilde{x}[n]\),并观察它的FS。当\(N\to\infty\)时,\(\{k\omega_0\}\)变成连续变量\(\omega\),取值范围\([0,2\pi]\);\(\dfrac{1}{N}\)变成微分\(\dfrac{1}{2\pi}\,\text{d}\omega\)。最终便有了离散信号的离散时间傅里叶变换(DTFT,式(6)),其中频谱系数\(X(e^{j\omega})\)可视为周期为\(2\pi\)的函数,单位脉冲响应的频谱系数也叫系统函数

\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\,\text{d}\omega;\;\;X(e^{j\omega})=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]e^{-j\omega n}\tag{6}\]

  扩展到无穷领域,自然就要考虑其收敛性,不难得出“可绝对求和”是FT收敛的一个充分条件。当然,FT收敛和分解式存在还是两个概念,比如离散周期信号的FS就可以修改成FT的形式。FS系数\(a_k\)转化成FT中的“密度”应该是\(a_k\delta(0)\),也就是说在基波频率\(k\omega_0\)上的频谱应当是\(2\pi a_k\delta(0)\),综合便有离散周期信号的FT(式(7))。

\[x[n]\;\overset{FS}{\leftrightarrow}\;a_k\;\;\Rightarrow\;\;x[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\sum_{k\in\langle N\rangle}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]

1.3 z变换

  接下来就是把离散时间的傅里叶变换扩展成拉普拉斯变换,即要将基波扩展到一般的指数函数\(z^n\),以下记\(z=re^{j\omega}\)。对于给定的\(r\),将\(r^n\)乘到式(6)左,便得到\(x[n]r^n\)在\(\{(re^{j\omega})^n\}\)下的分解。整理后不难得到扩展后的变换式(8),它被称为z变换,式(9)是它和FT的关系。

\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(z)z^n\,\text{d}\omega,\;X(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]z^{-n}\tag{8}\]

\[x[n]\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(re^{j\omega})\;\;\Rightarrow\;\;x[n]r^{-n}\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(e^{j\omega})\tag{9}\]

  z变换还是在复平面内讨论收敛域ROC,所谓收敛指在固定的\(r\)下所有\(X(re^{j\omega})\)都收敛,所以收敛域是以原点为圆心的同心圆组成的,或者可以简单地表示为\(r\)的取值范围。和拉普拉斯变换的差异是由变量的选取(\(z=e^s\))、以及\(\omega\)的范围导致的,其实并无本质不同,完全可以把LT的特性平移过来。z变换的单位圆对应LT的虚轴,圆内(去除原点)、圆外的同心圆分别对应原点左边、右边的虚轴平行线。

  以\(r\in(0,+\infty)\)或去原点的复平面为整个定义域,可知有限持续信号的ROC在整个定义域上;右边信号的ROC是某个同心圆以外的区域;左边信号的ROC是某个同心圆以内(不含原点)的区域;一般双边信号的ROC则是某个环状区域。当然以上单位圆和环的边界都可能是\(0\)或\(\infty\),边界本身也可能在ROC内。最后,脉冲响应的z变换还被称为系统函数,因果系统(右边信号)的ROC是某个同心圆外部,稳定系统的ROC一定包含单位圆。

2. 系统函数的性质

2.1 z变换的性质

  z变换和拉普拉斯变换格式相近,大部分性质也都很雷同,这里简单罗列这些平行的性质。关于性质的ROC可自行讨论,我想强调的是,即便不在ROC内,这些性质在那些收敛的\(z\)上仍然是成立的。另外不难发现,离散信号的傅里叶变换和连续周期信号的傅里叶级数,具有很好的对偶性,据此可以简化很多性质的证明。

  式(10~12)分别是线性、时移、z域平移、共轭的性质,其中实信号满足式(12)右。对离散信号缩放的讨论稍微困难一点,这里仅讨论整倍延展和时序翻转两种情况。把信号拉伸\(m\)倍并设新增点(非\(m\)的整数倍)的值为\(0\),记新信号为\(x_m[n]\),带入\(X(z)\)的公式便有式(13)左成立。它表明频域横向压缩了\(m\)倍,原本的基波(时域)被拉升后,还有新的基波填入,已不同于原来的分解。时序逆转不仅带来频域的正负翻转,也会带来z域的单位圆内外翻转。

\[ax[n]+by[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;aX(z)+bY(z)\tag{10}\]

\[x[n-n_0]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\; z^{-n_0}X(z);\;z_0^nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(\dfrac{z}{z_0})\tag{11}\]

\[x^*[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X^*(z^*);\;\;X(z)=X^*(z^*)\tag{12}\]

\[x_m[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^m);\;\;x[-n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^{-1})\tag{13}\]

  信号的差分性质直接根据时移和线性便得到(式(14)),信号的累加则是差分的逆运算,固有式(15)。对式(6)右两边求微分,便有\(z\)域的微分性质(式(16))。直接观察\(X(z)\)的单项\(x[n]z^{-n}\),对任何\(n>0\),当\(z\to\infty\)时总有项的极限为0(且是一致的)。所以对初始松弛的信号有式(17)的初值定理,但它和LT中的初值定理并无原理的相通性,也没有类似的终值定理。最后就是那个不意外的结果,把式(18)左的卷积和看成信号\(x_1[n]\)在单位脉冲为\(x_2[n]\)的系统下的输出,根据特征函数的性质应当有式(18)右成立。

\[x[n]-x[n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;(1-z^{-1})X(z)\tag{14}\]

\[\sum_{k=-\infty}^nx[k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z)\tag{15}\]

\[nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;-z\dfrac{\text{d}X(z)}{\text{d}z}\tag{16}\]

\[x[k]=0,\;k<0\;\;\Rightarrow\;\;x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\tag{17}\]

\[x_1[n]*x_2[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X_1(z)X_2(z)\tag{18}\]

2.2 傅里叶变换的性质

   做为z变换的特殊情况,傅里叶变换也有一些特有的性质。比如实偶信号满足\(X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})\),既有它的频谱系数为实数;同样还有实奇信号的频谱系数为纯虚数。再比如积分性质中\(z=1\)时,需单独讨论密度系数\(\pi X(1)\delta(0)\)(类似连续情况)。以及利用离散信号FT与连续周期信号FS的对偶性,很快能得到式(19)的能量谱公式(帕斯瓦尔定理),以及式(20)的乘法公式,注意右边为周期卷积。

\[\sum_{n\in\Bbb{Z}}|x[n]|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2\,\text{d}\omega\tag{19}\]

\[x_1[n]x_2[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X_1(j\omega)*X_2(j\omega)\tag{20}\]

  离散时间周期傅里叶级数是FT的原型,几乎所有的性质都可以平移过来,只需要把\(X(e^{j\omega})\)换成\(a_k\)、\(2\pi\)换成\(N\)即可。典型的有周期卷积和与乘积的对偶式(21),以及式(22)帕斯瓦尔定理。

\[x[n]*y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;Na_kb_k;\;\;x[n]y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;a[n]*b[k]\tag{21}\]

\[\sum_{n\in\langle N\rangle}|x[n]|^2=N\sum_{k\in\langle N\rangle}|a_k|^2\tag{22}\]

2.3 常用系统函数

  先来看单位脉冲的z变换式(23)左,它仍然是所有基波的无相移叠加,单位脉冲的时移即是\(z\)的多项式或简单分式(式(23)右)。\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一阶差分,从而有式(24)左成立,下移\(1\)后仍然有式(24)右成立,只是ROC相反了。式(24)的格式有点不同于LT,我们不要“简化”它,而是继续遵循其自身的格式特点,以后把系统函数看成\(z^{-1}\)的分式。

\[\delta[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;1;\;\;\delta[n-k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;z^{-k}\tag{23}\]

\[u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r>1);\;\;-u[-n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r<1)\tag{24}\]

  接下来把z域的平移性质用在式(24)上,可有带参数的一次式(25)左。利用求和性质或\(z\)域微分(式(25)右),可得到更高阶的一次式,它们也都有ROC为反向的表达式。式(25)左的\(a\)也可以为复数,对实数域内不能分解的二次项,利用复根便可有式(26~27)。至此,任何\(z\)的实数域分式都可以分解为不同一次项和二次项之和,它代表的系统也就拆分成了多个简单系统之和。当然,分式分解比LT要麻烦一点,高阶分式处理起来也不容易。

\[a^nu[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-az^{-1}};\;\;nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{z^{-1}}{1-z^{-1}}\tag{25}\]

\[\cos\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1-\cos\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{26}\]

\[\sin\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{27}\]

posted on 2020-02-08 23:38  卞爱华  阅读(424)  评论(0编辑  收藏

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