【信号与系统】03 - 系统函数的性质

1. 系统函数的性质

1.1 变换的对偶性

  不管是傅里叶变换的频域还是拉普拉斯变换的\(s\)域(下面统称\(s\)域),都是深入讨论LIT系统的有力工具,有时甚至是必备工具。\(s\)域的系统函数和时域的信号(单位冲激响应)是一对共生体,它们通过拉普拉斯变换生成彼此,同时也是连接两个域的纽带。对一个函数解析式,经常要对它做一些常规的分析操作,比如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。一个很自然的问题是,在某个域的分析操作会对另一个域带来什么影响呢?本篇就来讨论这个问题。

  在正式讨论之前,有必要再回顾一下拉普拉斯变换的公式。你可能一开始就注意到,正反变换存在一定的“对称性”,而仅在局部有微小差别。在数学上,两个概念如果通过类似的方法互相定义,它们就称为对偶的,从形式上不难看出,互为对偶的概念的性质也是对偶存在的,这就省去了相似论证的麻烦。信号\(x(t)\)和拉普拉斯变换\(H(s)\)之间不具有严格的对偶性,但这样的相似性仍然可以被使用。如果记\(\chi(\omega)=\dfrac{e^{\sigma}}{\sqrt{2\pi}}X(\sigma+j\omega)\),将得到更为对称的式(1),把这个关系记作变换\(T\),显然有式(2)成立。以后变换的性质如果本身不是对称的,可以运用该式迅速得到另一个对称的性质,当然简单的性质直接证明会更快。

\[x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;\chi(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{1}\]

\[x(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,\chi(\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;\chi(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,x(-\omega)\tag{2}\]

1.2 拉普拉斯变换的性质

   以下按函数运算的复杂程度,罗列LT的基本性质,过于直白的结论不加证明。需要注意的是,性质成立有它自己的ROC,并不完全受限于原LT的ROC。还有我们知道,ROC和积分在具体的\(s\)上的收敛性是不同的,以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成立的。

  首先是函数的线性运算,在\(s\)域也是线性的(式(3))。然后看函数的平移,容易有式(4)左成立,在\(s\)域的平移还有式(4)右成立,这是一组对偶性质。当对函数进行伸缩时,频谱系数也跟着反比例伸缩(式(5)左);特别地,\(a=-1\)时表示函数左右翻转(旋转180度),\(s\)域则也跟着旋转180度(式(5)右)。需要说明的是,LT是定义在实变量的复函数上的,故\(x(t)\)也可以是复值函数。对LT右式两边取共轭(用\(x^*\)表示),再将\(s\)换成\(s^*\),即得到\(x^*(t)\)的FT(式(6)左);对于实信号有\(x^*(t)=x(t)\),从而有式(6)右的频谱关系。

\[ax(t)+by(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;aX(s)+bY(s)\tag{3}\]

\[x(t-t_0)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;e^{-st_0}X(s);\;\;\;e^{s_0t}x(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s-s_0)\tag{4}\]

\[x(at)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{|a|}X(\dfrac{s}{a});\;\;x(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(-s)\tag{5}\]

\[x^*(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X^*(s^*);\;\;X(s)=X^*(s^*)\tag{6}\]

  本段来讨论LT在微积分下的性质,论证中会用到微分、积分顺序的交换,这可以由函数的一致收敛性得到(见微积分)。首先对LT逆变换式的两边分别取微分,可得式(7),它就是\(x'(t)\)的拉普拉斯展开,所以频谱函数就是\(sX(s)\)(式(8)左)。同样的方法,也可以得到\(s\)域微分的性质(式(8)右)。逆向使用微分性质,便能得到时域积分的LT公式(9),当\(s=0\)时性质不成立,但不影响公式在其它\(s=j\omega\)上成立。

\[x'(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)se^{st}\,\text{d}\omega\tag{7}\]

\[\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;sX(s);\;\;-tx(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\text{d}X(s)}{\text{d}s}\tag{8}\]

\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau+C\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(s)}{s}\tag{9}\]

  在微积分中我们知道,任何非奇异函数与三角函数\(\cos\omega t\)的积分,在\(\omega\to\infty\)时总是趋于\(0\)的。从而在拉普拉斯变换中,当\(s\to\infty\)时(延虚轴方向)一定有\(X(s)\to 0\)。当\(x(t)\)含有奇异值时,这个性质不再成立,比如容易算得\(\delta(t)\)的LT是\(1\)。如果\(x(t)\)的(高阶)微分仍不是奇异函数,利用公式(8)可以继续得到当\(s\to\infty\)时\(s^kX(s)\to 0\)。\(x'(t)\)出现奇异值(比如仅在\(t=0\)处)的常见原因是,\(x(t)\)出现了值跳变\(\Delta=x(0^+)-x(0^-)\)。这时可以把\(x(t)\)拆成\(\Delta u(t)+g(t)\),则\(g(t),g'(t)\)都是非奇异的,对等式两边做拉普拉斯变换并整理得式(10)(\(u(t)\)的LT为\(1/s\))。当\(s\to\infty\)时(延虚轴方向)\(sG(s)\to 0\),所以有式(11)左成立;当\(s\to 0\)时回到\(g'(t)\)的LT公式,可算得\(sG(s)\to g(+\infty)-g(-\infty)\),加上\(\Delta\)便有式(11)右成立。课本上还假定\(x(t)\)在\(t<0\)时为\(0\),即可以有\(x(-\infty)=x(0^-)=0\),这时的结论会更简洁一点,分别叫初值定理终值定理

\[x(t)=\Delta u(t)+g(t)\;\Rightarrow\;sX(s)=\Delta+sG(s)\tag{10}\]

\[\lim_{s\to\infty}sX(s)=x(0^+)-x(0^-);\;\;\lim_{s\to 0}sX(s)=x(+\infty)-x(-\infty)\tag{11}\]

  最后来看卷积\(x(t)*y(t)\)的拉普拉斯变换,它在LIT中可以阐述为:信号\(x(t)\)在单位冲激响应为\(y(t)\)的系统下的输出。\(X(s)\)是\(x(t)\)在基波\(e^{st}\)下的密度系数(先忽略统一系数\(\dfrac{1}{2\pi}\)),\(Y(s)\)是基波\(e^{st}\)在系统下的响应系数,这样分支\(X(s)e^{st}\)的系统响应就是\(X(s)Y(s)e^{st}\),所以总响应函数的密度系数就是\(X(s)Y(s)\)。式(12)总结了这个重要的卷积性质,当然通过积分交换直接证明才是最严格的,请自行完成。卷积性质揭示了拉普拉斯分解对LIT系统的意义,时域的卷积在\(s\)域只是简单的乘法。其实这个结果也没什么好意外的,从讨论特征函数起,我们就在朝这个方向行进。

\[x(t)*y(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s)Y(s)\tag{12}\]

1.3 傅里叶变换的性质

  傅里叶变换是拉普拉斯变换取\(s=j\omega\)的特殊情况,故以上性质对FT也是成立的,请回顾以上性质并用\(j\omega\)带入。做为特殊情况,傅里叶变换也必有自己独有的性质,这里专门进行阐述。比较有代表性的是式(13)的帕斯瓦尔定理(Parseval),你可以使用\(|x(t)|^2=x(t)x^*(t)\)自行验证,这里从另一个角度阐述。信号是一种能量,\(|x(t)|\)蕴含着能量的大小,式(13)左即是信号能量的度量公式(平方不仅计算方便、也更符合现实意义)。另外不难证明,基波\(ae^{j\omega t}\)的能量是\(|a|^2\),且不同频率基波的能量是互相独立的。这就是定理的直观解释,频谱系数\(X(j\omega)\)也被叫做能量谱

\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,\text{d}\omega\tag{13}\]

  式(5)左信号的伸缩,会带来频谱系数反向的伸缩,系数\(1/|a|\)保证了能量守恒。信号的时移(式(4)左)在频谱上只是乘上了函数\(e^{-j\omega t_0}\),它的意义是在对相位调制\(\omega_0 t_0\)而范数不变,这符合直观感觉。信号翻转时正好也带来频域的翻转(式(5)右),一对正负频率其实就是相反方向的。对实函数的性质式(6),偶函数还满足\(x(t)=x(-t)\),从而有\(X(-j\omega)=X^*(-j\omega)\),即\(X(j\omega)\)为实值函数;同样可知实奇函数的\(X(j\omega)\)为纯虚值函数。

  上面提到过,式(9)在\(s=0\)处不收敛,而在其它\(s=j\omega\)处仍然成立(如果\(x(t)\)的FT收敛),现在需要专门计算\(h(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\)在基波\(e^0=1\)上的频谱。如果\(h(+\infty)=X(0)\)存在,\(h(t)\)的平均值是\(X(0)/2\)(不严谨),所以它对\(1\)的频谱就是\(X(0)\delta(t)/2\)。综合便有\(h(t)\)的频谱系数(式(14)),注意左部分要把\(\omega=0\)去掉。另外,卷积性质(10)不具有对称性,利用对偶式(2)可以推出式(15)的乘法性质,它是“幅度调制”理论的基础。

\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)\tag{14}\]

\[x(t)y(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*Y(j\omega)\tag{15}\]

  傅里叶级数可以纳入傅里叶变换的公式,以上性质基本也适用于FS,只需把\(\omega\)换成\(k\omega_0\)、并注意频谱系数的意义差别。但有两个性质需要单独论证,请自行证明。一个是帕斯瓦尔定理,式(16)将能量定义在一个周期上;另一个是周期卷积性质(式(17)),周期函数的卷积只计算一个周期的积分。

\[\int_T|x(t)|^2\,\text{d}t=T\sum_{k\in\Bbb{N}}|a_k|^2\tag{16}\]

\[x(t)*y(t)\;\overset{FS}\leftrightarrow\; Ta_kb_k\tag{17}\]

2. 常见系统函数

  这里列举一些基础的系统函数,说它们基础是指,它们简单但能构建起更复杂的系统,或者通过变换性质将一个系统快速地生成为另一系统。先来看最简单的\(\delta(t)\),直接带入变换式便有式(18)左。它的直观意义很明显,将所有基波零相移地叠加,在\(t=0\)处会产生单位冲击,而其它位置为0。回到分解式可以有\(\int_{-\infty}^{\infty}1\,\text{d}\omega=2\pi\delta(0)\),这个反直观的结论在奇异函数的世界里就是成立的,直接使用它能让前面困难的推导顺畅起来。继续对\(\delta(t)\)微分便有式(18)右,这样\(s\)的多项式的逆变换就都有了。

\[\delta(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;1;\;\;u_n(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;s^n\tag{18}\]

  阶跃函数\(u(t)\)的微分是\(\delta(t)\),根据积分性质可知频谱系数为\(\dfrac{1}{s}\),当然也可以直接计算并得到ROC是\(\sigma>0\)(式(19)左)。\(u(t)-1=-u(-t)\)的微分还是\(\delta(t)\),它的LT也有非空的ROC(式(19)右)。式(19)提醒我们,变换式不能唯一确定逆变换,还需要加入ROC的因素。另外,有了简单分式\(\dfrac{1}{s}\),利用\(s\)域的平移性质和积分性质,可以得到式(20)的变换(\(a\)为复数)。组合两者就能得到\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的逆变换,当然把\(u(t)\)换成\(-u(-t)\)都还有一个解,且ROC为\(\sigma<0\)。

\[u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma>0);\;\;\;-u(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma<0)\tag{19}\]

\[e^{at}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s-a};\;\;u_{-n}(t)=\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^n}\tag{20}\]

  复数域内的任何分式都可以分解为多项式和一些简单分式\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的和,故任何分式系统函数的逆变换都能给出。如果限定在实数域,分式还可能分解出二次项因子\(\dfrac{cs+d}{(s^2-2as+b)^n}\),其中二次项可写成\((s-a)^2+\omega^2\)。二次项的两个根为\(a\pm j\omega\),可以先在复数域求一次项的逆变换(先设\(a=0\)),再把共轭的一次项合并便能得到式(21)。结合\(s\)域平移和卷积便能得到一般二次项因子的逆变换,还要注意使用\(-u(-t)\)的另一个解,至此实数域分式的逆变换也解决了。

\[\cos\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{s}{s^2+\omega^2};\;\;\sin\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^2+\omega^2}\tag{21}\]

posted on 2020-02-08 23:13  卞爱华  阅读(363)  评论(0编辑  收藏

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