万物皆数

摘要： 1. 顺序公理 到目前为止，射影几何都是在一般域\(F\)中讨论的，最多也只在二阶曲面里使用了“代数闭域”。但实数域作为真实世界的模型，也是欧氏几何的所在域，更有其独特的性质和意义。为了在后续讨论中能够自由地使用实数，我们接续上一篇的结合公理，增补实数域所必须的顺序公理。这组公理重在为直线上的点建立 阅读全文

摘要： 上一篇我们用一组结合公理在射影空间的直线上构建了代数域（体），并且将射影空间的元素用齐次坐标彻底代数化。本篇开始就让这个代数工具大显身手，进一步深入探究射影几何的诸多性质。 1. 射影几何 1.1 射影几何与交比 大部分教材绕开了结合公理，直接用线性空间定理射影几何，在方便理解的同时却丢失了数学的核 阅读全文

摘要： 上一篇我们扩展了仿射空间，并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性，（点列和线束）交比是射影不变量，现在我们就要以这些射影性质为启发，抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底，不同于仿射几何对于欧氏几何做减法，我们要从零开始建立射影几何，并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的，你将不 阅读全文

摘要： 1. 增补仿射空间 1.1 点透视的启发 在第一篇中说到，圆锥面对于不同平面的截面构成了我们熟悉的二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），因此它们也被称为圆锥曲线。至于为什么会是这样，最直观的证明就是著名的丹德林（Dandeline）双球模型。上一篇中圆柱截面为椭圆的证明，放在圆锥中依然适用。下图则演 阅读全文

摘要： 1. 仿射几何 1.1 前言 在切入正题之前，有必要再重申一下“埃尔朗根纲领”的主要思想：“几何学就是研究某类变换的不变性”。一般来说，我们终究是为了获得现实空间中的几何性质，但某个特定问题不一定关系到空间中的所有属性，在思考和使用工具时这些属性势必成为干扰限制、甚至障碍。几何变换则是让无关属性“动 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 古典与现代的结合 02 - 仿射几何 03 - 射影变换 04 - 射影结合公理 05 - 射影几何 06 - 一般仿射几何 博客总目录 1. 源起 数学里冠以“高等”字眼的课程，一般只是相对于中学数学而言的，因此大家先不必紧张，而真正高深的课程往往拥有最“朴素”的名称。不 阅读全文