【高等几何】01 - 古典与现代的结合
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1. 源起
数学里冠以“高等”字眼的课程，一般只是相对于中学数学而言的，因此大家先不必紧张，而真正高深的课程往往拥有最“朴素”的名称。不着急，不妨先来回顾一下我们关于几何的心路历程：从幼儿时期对周围物体形状的直觉感知，到小学对基础图形的长度面积度量，再到初中陷入点线关系的苦战，高中平面解析几何又总是算不正确、立体几何苦练空间想象力，大学空间解析几何刚开个头就去算微积分了。
至此我们对空间图形的掌握好像已经到头了，因为解析几何把逻辑推理基本都交给了方程计算，理论上可以说没有方程计算解决不了的几何问题。但在我们心里还是留下了一点遗憾，就是推理证明的直观性、巧妙构思以及启发性，是单纯的代数计算所不具备的。那是因为代数计算只是手段而不是目的，几何研究的目的除了具体的度量任务外，还在于探究空间元素之间的内在特性和关联。所以才有了前一篇《几何基础》中的“希尔伯特”公理系统，公理从空间元素中抽取出“关联、介于、合同”三大特性，通过纯逻辑推理证明了欧几里得空间和笛卡尔坐标空间的等价性。
几何问题的终结不是代数化造成的，而是受限于欧几里得空间的概念过于直觉。仍然有很多内在几何特性没有被挖掘，它们可以构建完全不同的公理系统，乃至新的代数工具的使用。比如你可能听说过“捏橡皮泥”的拓扑学，讨论物体连续形变后仍然保留的性质（比如连通性），这样的问题显然不适合再用解析手段，而要先抽象出更本质的概念。其实在欧几里得几何之外，已经有很多不同的几何分支，它们提出了不同的方法观点，最终都导向全新的几何视角。
然而这些视角中，其实都隐含了一个共通的思想，这就是我们铺垫许久所要隆重介绍的“埃尔朗根纲领”（Erlangen）。克莱因在埃尔朗根大学的就职演讲中提出：“所谓几何学，就是研究图形对于某类变换保持不变的性质的学问”（建议你去了解一下这位神人）。从拓扑学的例子中你大概能体会这句话的意思，而欧几里得几何则可以描述为“研究在保持距离不变的变换下那些不变的几何性质”，其实就是刚体运动下的不变性。
Felix Klein (1849~1925)
克莱因还指出，这些变换构成了一个群\(G\)，群越大意味着变换更自由，从而保留的性质越少，反之越小的群对应越丰富的几何。比如拓扑变换显然包含了刚体运动，拓扑性质必然包含在距离性质中，欧几里得几何是拓扑学的子几何。但越“丰富”的几何，其元素定义和代数方法要包容更多的性质，反而变得复杂低效（比如欧几里得空间和笛卡尔坐标）。子几何则可以重新建立自己的公理系统、找到更合适的代数工具，以更加精简高效的方式探索内在的性质。以上为个人初学高等几何的一点浅见。
2. 射影几何简史
开篇的闲聊中我们可以得知，一门几何学的关键在于它的变换群\(G\)如何定义，它同时暗含了这门几何的核心元素和代数方法。每一个新的几何学都可以独立成一门学科，《高等几何》不可能介绍所有的门类，而是以一个经典实用的几何学为例，展示了新视角所带来的深刻变革。以下我们就逐步介绍本门课程的研究对象：“射影几何”及其特例“仿射几何”，在了解射影方法的同时，感受几何变换的具体含义。
当然，任何学科的建立都不是一蹴而就的，甚至会经历漫长的波折，科学就是一代代人用自己的洞见去完善前人的成果。最古老的投影模型来自古希腊的阿波罗尼奥斯（Apollonius），他的《圆锥曲线论》可谓惊天之作，书中涵盖众多二次曲线的重要性质。而其中二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）与圆锥截面的关系，则揭示了曲线与锥面的内在关联。我们不妨把模型看成一簇光线（锥面）在不同平面的投影，投影只是虚像，光线才是实体，后面会接续讨论这个假设。
此后直到文艺复兴时期，绘画和建筑领域产生了透视法，利用光学投影在平面上呈现景物的空间关系。人们发现投影改变了长度、角度这样的度量性质，却没有改变点线的关联属性，这使得数学家们意识到，投影性质有其内在的根源。之前的帕普斯（Pappus），之后的笛沙格（Desargues）和帕斯卡（Pascal），都留下了重要且基础的射影定理，然而方法上仍然使用了欧几里得空间的度量属性。之后的几百年，几何综合分析法让位于坐标系的解析法，正如初中几何到高中几何的转变，综合法的讨论戛然而止。
法国拿破仑时期，画法几何的创始人蒙日（Monge）仍然坚持着综合法。他的学生彭赛列（Poncelet）在被俄军囚禁的两年里，重新整理思考了射影相关的理论，并在1822年发表了《论图形的射影性质》。书中把无穷远点引入几何空间，提出了交比、对偶原理这些射影几何的核心概念，曲线曲面的配极和虚元素的使用极具前瞻性。可以说无论在方法或概念上，彭赛列的理论使得射影几何首次被看作新的数学分支，它研究图形在射影变换下的不变性质。从此这门古典几何学重焕新生，成为了近代几何学的先驱。
J.V. Poncelet (1788～1867)
随后更多人加入这套体系的完善，施泰纳、施陶特、莫比乌斯 逐步建立了射影几何的坐标系统，结束了几何的综合法与解析法之争。综合法是根本，解析法（代数法）则是有力的工具，两者相得益彰、互不分离。后面我们也会看到，纯几何的公理系统，和基于向量的射影空间在一定条件下是等价的。最后，上面提到的“埃尔朗根纲领”更是给予了射影几何更高的视角，将其纳入几何学的大家庭当中。
好了，闲嗑我们就唠到这，下面该要认真介绍射影几何的本身了。但这里还会有一个困难，就是射影几何的内容新旧交杂，前后内容表现出一定割裂，结论的得出也会重复或交叉。往往使人抓不住重点，或理不清前后关联，从而不能对新几何思想建立整体认知。我在陈述过程中会不厌其烦地强调几何变换的核心思想，果断地从公理系统推到线性空间，以建立一般射影几何的理论。因此文章的结构顺序会不同于大部分教材的先直观再抽象（甚至没有抽象），而是更早地将公理系统和代数工具和盘托出，以避免弱化核心理论、仅把射影几何视作欧氏几何的一种方法技巧。
【前序学科】几何基础，线性代数，抽象代数
【参考资料】
[1] 《高等几何（第三版）》，梅向明，高等教育出版社，2008
本博客主要参考材料，内容从特殊到一般、从直观到抽象，符合大多读者的认知顺序。后面的一般射影空间和射影公理适合进阶学习的要求，可惜在一些关键问题上缺少严密的论证。
[2] 《射影几何》，毛澍芬，上海科学技术文献出版社，1985
虽然是比较老的教材，但涉及内容全面丰富，讲解细致严谨。书中有大量例题，详细说明了一些计算方法步骤，非常适合初学者研习。该书可能是后续国内教材的重要参考材料。
[3] 《高等几何》，周兴和，科学出版社，2003
从扩充欧氏平面出发，严谨而完备地讲解了射影几何的主要内容，配有大量的应用例题与习题，适合初学者阅读研习。最后一章简要回顾了几何学的发展历程，颇具可读性。
[4] 《射影几何趣谈》，冯克勤，上海教育出版社，1987
为中学生撰写的高等几何简介，从直观视角出发，比较全面地介绍了射影几何的主要概念，以及在平面几何上的应用。
[5] 《直观几何（上册）》，希尔伯特，高等教育出版社，2013
参考了第1,3章，借用了书中的配图。全书是对几何学的直观引述，非常具有启发性。
