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Hall 定理 学习笔记 Hall 定理 对于一个左部有 \(x\) 个点，右部有 \(y\) 个点的二分图（\(x\le y\)）的完备匹配是指，左部所有点都被匹配。 Hall 定理给出这个二分图存在完备匹配的充要条件：当且仅当对于左部点点集 \(L\) 的任意子集 \(S\) 满足 \(|S|\ 阅读全文
posted @ 2025-08-14 14:30
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Miller-Rabin 素性测试 & Pollard-Rho 算法 学习笔记 素性测试 判断一个数是否是素数。 试除法 一种确定性算法。枚举 \([1,\sqrt n]\) 的每个数检验能否除 \(n\)。复杂度 \(O(\sqrt n)\)。 Fermat 素性测试 简单的概率性素数检验。根据费 阅读全文
posted @ 2025-08-13 20:54
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posted @ 2025-08-13 16:45
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posted @ 2025-08-10 22:19
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可持久化WBLT 学习笔记 什么是 WBLT WBLT 是一种 Leafy 的平衡二叉树，即序列中的元素都挂在叶子处，而非叶节点则处理子树内叶子的信息合并，线段树就是典型的 Leafy 树。每个非叶节点都有两个儿子，不难发现对于长为 \(n\) 序列，其 WBLT 有 \(2n-1\) 个节点。 W 阅读全文
posted @ 2025-08-05 21:58
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2025-07-11 总结 小R的旅行 Tag：点分治、倍增。 考虑从 \(u\) 走到 \(v\) 过程中，每条边的花费即此前 \(p_i\) 的最小值。那么对于链的情况，可以找到一个点往上或往下第一个 \(p_i\) 比它小的点，查询时用倍增跳即可。 现在考虑树，从 \(u\) 走到 LCA 依 阅读全文
posted @ 2025-07-12 10:42
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2025-07-10 总结 Jzoj8622. 旋转排序（arrange） 首先判无解：考虑把方格黑白染色，发现旋转只是交换黑与黑、白与白，所以如果给定矩形奇偶性与目标矩形不同则可判定无解。当然这只是有解的必要条件，剩余的条件我们暂且不考虑。 对于 \(n=3\)，有四种情况。对于 \(n=4\) 阅读全文
posted @ 2025-07-11 07:57
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回文树（回文自动机） 学习笔记 回文自动机可以存储一个字符串的所有回文子串，根据 Manacher 的过程我们可以知道一个字符串的回文子串个数是 \(O(n)\) 的。 结构 回文自动机的每个节点表示以某个位置结尾的最长回文子串。 回文自动机有两种边，转移边 \(tr\) 和失配边 \(fail\) 阅读全文
posted @ 2025-07-09 15:11
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2025年6月杂题集 P5101 [JOI 2017 Final] 绳 / Rope 黑、结论。 P5103 [JOI 2016 Final] 断层 / Geologic Fault 黑、旋转坐标系、时光倒流、树状数组。 P9531 [JOISC 2022] 复兴计划 黑、贪心、动态 MST、增量构 阅读全文
posted @ 2025-06-04 22:39
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2025年4&5月杂题集 目录 P6780 [Ynoi2009] pmrllcsrms（[EC Final 2021] Vacation） 黑、线段树、分块。 P4208 [JSOI2008] 最小生成树计数 紫、暴力。 P3199 [HNOI2009] 最小圈 紫、分数规划、SPFA 判负环。 P 阅读全文
posted @ 2025-05-29 22:10
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Slope Trick 总结 Slope Trick Slope Trick 用于维护凸性的分段一次函数，且每一段一次函数的斜率满足为整数且级大小为 \(O(n)\)。 使用 Slope Trick 可以方便地求函数的最值、对后缀取最值、给全局加上一次函数或绝对值函数，要保证操作前后函数都为凸性。 阅读全文
posted @ 2025-05-21 22:16
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扩展 KMP（Z 函数）& Manacher 学习笔记 以下字符串从 \(1\) 开始标号。 扩展 KMP（Z 函数） 例题。求字符串 \(a\) 与 \(a\) 的每一个后缀 \(i\) 的 LCP \(z_i\)，求字符串 \(a\) 与 \(b\) 的每一个后缀 \(i\) 的 LCP \(p 阅读全文
posted @ 2025-04-19 10:15
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后缀数组 以下，我们将字符串的元素从 \(1\) 开始标号。后缀 \(i\) 表示以 \(i\) 开头的后缀。 定义 记 \(sa_i\) 表示将所有后缀按字典序排序后，第 \(i\) 小后缀的标号。 记 \(rk_i\) 表示后缀 \(i\) 的排名。 后缀排序 两只 log 的做法 我们采用倍增 阅读全文
posted @ 2025-04-17 16:25
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基数排序 一种非比较的排序算法。我们把每个元素拆成 \(k\) 个关键字。然后有两种排序方式： MSD，从第 \(1\) 关键字到第 \(k\) 关键字依次排序。 LSD，从第 \(k\) 关键字到第 \(1\) 关键字一次排序。 这里对于两个元素 \(a,b\) 判断 \(a<b\) 的方法是，找 阅读全文
posted @ 2025-04-14 22:13
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定义 后缀自动机是一个 DAG，边带权（权值是一个字符），有一些节点称作结束节点，从根节点到结束节点的任意路径构成原字符串的所有后缀。由于后缀的前缀为子串，于是从根节点到任意节点的路径构成原字符串的所有子串。 后缀自动机上每个节点的每种边权的出边最多一条，这意味着后缀自动机上从根节点出发的每条路径与 阅读全文
posted @ 2025-04-06 17:12
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2025年3月杂题集 目录 P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树 P6018 [Ynoi2010] Fusion tree AT_abc391_g [ABC391G] Many LCS P10614 BZOJ3864 Hero meet devil P11844 [USACO25FEB] 阅读全文
posted @ 2025-03-29 19:01
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ABC293Ex & ABC298Ex & ABC294Ex 题解 ABC293Ex 题意：用若干条颜色路径覆盖树，使得任意路径的颜色数的最大值最小。 首先可以考虑二分答案 \(K\)，变成判定性问题。 考虑树形 DP，设 \(f_{x,0/1/2}\) 表示 \(x\) 子树内的「任意路径的颜色数 阅读全文
posted @ 2025-03-17 22:36
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AtCoder ARC194 题解 前言 前四题时自己通过的，最后一题题解写得很清楚，就很快通过了。 A - Operations on a Stack 发现如果操作序列是 add-add-del-del 那么可以转化为 add-del-add-del，它们的贡献是一样的。 即我们现在有两种操作：选 阅读全文
posted @ 2025-03-11 22:12
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abc396_g & CF662C 题解 做 abc 做到了原题。 考虑暴力，我们枚举每一列是否翻转，然后每一行的贡献就是 \(0,1\) 个数的最小值，时间复杂度 \(O(n2^m)\)。 我们把上述东西写成式子，设 \(a_i\) 为行的初始状态为 \(i\) 的行数，\(b_i\) 为 \(i 阅读全文
posted @ 2025-03-08 21:43
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posted @ 2025-03-08 21:35
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2025年我新学的东西 DP 05-19 Slope Trick 08-07 Knuth 决策单调性优化。 字符串 04-06 SAM 后缀自动机。 04-17 \(O(n\log n)\) 后缀排序。 04-19 扩展 KMP。 04-19 Manacher。 07-09 回文自动机（回文树） 0 阅读全文
posted @ 2025-03-06 22:18
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最小割：最大权闭合子图 最大权闭合子图 给一个 DAG，你要选一个子图，如果一个点被选则要求它的所有后继节点都必须选，求可选的合法子图的最大权。 最小割模型 我们这样建模： 对于边 \(u\to v\)，连一条 \(u\to v\) 的容量为 \(\inf\) 的边。 对于 \(val_x\ge 0 阅读全文
posted @ 2025-03-04 22:07
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GDOI2025 游记 day-0 早上训练，开了一个会，写了一些注意事项： 先写暴力，可以验证题意，也能方便对拍。 不要对着样例硬调，可以自己造一些样例，样例是给你验证正确性的，不是用来调试的。 不要想过长时间，也不要调试过长时间，特别是第一题，不要想着自己一定要过第一题。 题目难度不一定递增，每 阅读全文
posted @ 2025-02-28 11:36
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线段树：区间历史和 & 区间历史最值 & 区间最值操作 区间历史和 例题：Loj#193.线段树历史和。 一个数列，需要支持区间加、区间求和、区间求历史和。 矩阵乘法 每个点存 \(len,s,h\) 分别表示区间长度、区间和、区间历史和。用一个行向量表示这些信息。 区间加 \(v\) 则有转移，右 阅读全文
posted @ 2025-02-21 22:32
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FWT 学习笔记 我们要计算如下式子，其中 \(\otimes\) 是一种位运算，这个式子又叫做位运算卷积。 \[C_i=\sum _{j\otimes k=i} A_j\times B_k \]暴力枚举可以做到 \(O(n^2)\)，可以使用 \(FWT\) 做到 \(O(n\log n)\)。 阅读全文
posted @ 2025-02-13 21:29
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2025年2月杂题集 目录 P5904 [POI 2014] HOT-Hotels 加强版 P10085 [GDKOI2024 提高组] 染色 P1935 [国家集训队] 圈地计划 [ARC107F] Sum of Abs P9878 [EC Final 2021] Check Pattern is 阅读全文
posted @ 2025-02-11 16:29
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2025寒假后训练总结 2025-02-05 今天一早返校，困困。寒假十天有点玩脱了，从没学习过，WC 和 THUWC 的游记还没写。 今天省选组题感觉非常有趣，但也很难就是了。 第一题是给定排列和用 XOR-SHIFT-64 生成的随机数生成方式，然后求随机种子。我首先倒推出每个 \(i\) 操作 阅读全文
posted @ 2025-02-11 16:28
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P10200 [湖北省选模拟 2024] 花神诞日 题解 首先注意到一个集合中两两异或和的最小值就是，排序后相邻两个数异或和的最小值。证明可以考虑放到 01-Trie 上，从高往低位建树，求一个数与之异或的最小值，就是使高位相同位数尽可能多，则就是 01-Trie 上的前一个叶子或后一个叶子。 由此 阅读全文
posted @ 2025-01-11 15:23
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2025.01.10 杂题记录 CF1998E2 这题是求能否吃完，而不是最多吃多少个。 首先如果 \(x=n\)，那么是经典问题，每次往左右二分一个位置扩展，每次扩展两次和都会翻倍，复杂度就是 \(O(n\log n\log V)\)。 我们考虑每个起始点对每个 \(f(i)\) 的贡献。我们每次 阅读全文
posted @ 2025-01-10 21:50
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线段树分治-学习笔记 阅前须知：本文给出了线段树分治的一道例题以及多道习题，同时给出了部分实现的代码，帮助学习线段树分治。 总述 线段树分治是一种离线算法，在于把修改挂在线段树的节点上，通过遍历线段树求出每个叶子节点的答案，以减小复杂度。 例题 P5787 二分图 题目大意：\(n\) 个点的图上， 阅读全文
posted @ 2025-01-10 21:49
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[NOISG2022 Qualification] Dragonfly Solution in O(d log d) 提供一个使用线段树合并、栈、树状数组的严格单 \(\log\) 离线做法。 题目大意：给你一棵树，每个点有权值和颜色，每次问你一个从 \(1\) 开始的路径，求权值不为 \(0\) 阅读全文
posted @ 2025-01-10 21:41
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posted @ 2025-01-08 19:19
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[Ynoi2016] 镜中的昆虫 题解 好题值得一做。 题目大意：给一个序列，有若干个离线询问，每次可以区间推平或询问区间内的颜色个数，数据范围是 \(10^5\) 级别。 解题思路：我们可以先考虑一个弱化版，每次是单点修改怎么做，类似于 CF848C。 我们考虑维护出每一个位置上一个与它相等的位置 阅读全文
posted @ 2025-01-08 11:18
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2025.01.07 杂题记录 今天是好题选讲，顺便做了一些别的题目。 P3380 【模板】树套树 好，我终于搞明白树套树是怎么回事了，以前一直没做大概是因为平衡树好不太熟悉。 题目大意就是把普通平衡树的各种操作放在序列上，加上区间的限制。 树套树最普遍的做法就是线段树套平衡树。 考虑对线段树上的每 阅读全文
posted @ 2025-01-08 06:59
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atcoder 杂题 #05 abc340_g Leaf Color abc340_f F - S = 1 abc361_g Go Territory abc386_f Operate K abc340_g 独立想出了这道题。 如果我们确定了子图的叶子，那么这个子图就确定了。又由于叶子的颜色要相同， 阅读全文
posted @ 2025-01-05 21:17
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