Hall 定理 学习笔记

Hall 定理 学习笔记

Hall 定理

对于一个左部有 \(x\) 个点，右部有 \(y\) 个点的二分图（\(x\le y\)）的完备匹配是指，左部所有点都被匹配。

Hall 定理给出这个二分图存在完备匹配的充要条件：当且仅当对于左部点点集 \(L\) 的任意子集 \(S\) 满足 \(|S|\le |N(S)|\)，其中 \(N(S)\) 是点集 \(S\) 的邻域点集。即 \(\forall S\subseteq L,|S|\le |N(S)|\)。

证明

必要性是显然的，若子集 \(S\) 满足 \(|S|<|N(S)|\)，则 \(L\) 不存在完备匹配。

考虑证明充分性，归纳：

• 对于 \(|L|=1\) 显然成立。
• 若对于 \(L\) 的所有非空真子集 \(S\) 均满足 \(|S|>|N(S)|\) ，则考虑选出一条边，把其两端点和它们连出的所有边删掉，显然剩下图仍满足 Hall 定理的条件。
• 否则存在一个 \(S\) 使得 \(|S|=|N(S)|\)，此时根据假设 \(S\) 存在完备匹配，我们把 \(S\) 的完备匹配在原图中删去，剩下图仍满足 Hall 定理的条件（因为如果对于剩下图中有子集 \(T\) 使得 \(|T|< |N(T)|\) 则有 \(|S\cup T|<|N(S\cup T)|\)，在开始就不满足条件）。