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树的重心 本文介绍了树的重心及其性质、如何动态维护修改权值的带权重心、如何寻找断边再加边的带权重心。 无根树的重心定义为： 令 \(x\) 为树根，有 \(y\) 与 \(x\) 相邻，使得 \(y\) 的子树大小的最大值最小，这样的 \(x\) 即树的重心。 重心有 1 个 或 2 个，若有 2 阅读全文
posted @ 2024-11-26 08:15
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博弈论：公平组合游戏（Nim 游戏 & SG 定理）学习笔记 公平组合游戏 定义： 两人轮流以最优方式操作，两人的操作方式相同。 每次操作游戏状态必须改变，不能操作者输，另一人赢。 每个游戏状态不能重复到达。 我们把每个状态看作一个点，每个状态的点向它后继状态的点连有向边，可以生成一张 DAG（有向 阅读全文
posted @ 2024-11-20 17:41
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各种内置函数技巧总结 数学库等 abs(x) 取绝对值，自动类型，注意没有 abs(__int128)。 (int)(x*100+0.5)/100.0 四舍五入保留两位小数。 printf("%.2lf",x) 以 double 类型输出 \(x\) 保留两位小数，有时不一定四舍五入。long do 阅读全文
posted @ 2024-11-16 16:54
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时间复杂度：主定理 求递归算法的复杂度： \[T(n)=aT(n/b)+f(n) \]其中 \[f(n)=O(n^d \log^{k} n) \]则 \[T(n)=\begin{cases} f(n) & d>\log_ba \\ O(n^d\log^{k+1} n) & d=\log_ba\\ O 阅读全文
posted @ 2024-11-14 16:40
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阶与原根 前言 既然都学 OI 了，还要证明干嘛。 阶 定义：满足 \(a^n\equiv 1\pmod p\) 的最小的正整数 \(n\) 称作 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶，记作 \(ord_p(a)\)。 性质1：对于 \(1\le i\le ord_p(a)\)，\(a^i\) 阅读全文
posted @ 2024-11-11 07:39
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CSP 2024 游记 初赛发挥得还可以，J 组 92.5，S 组 90.5，大家的 J 组都比我高。 day -1 在正式比赛的时间去正式比赛的考场和座位做了一场模拟赛。 发现楼下机房的 Dev-C++ 的编译器竟然是重新配置过的，是 winlibs GCC 13.2.0，比我的电脑配置还好；听说 阅读全文
posted @ 2024-11-02 19:32
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[复习] 图连通性 搜索生成树 定义（无向边方向是边第一次被遍历时所指的方向） 树边，搜索到一个新的点连的边，构成生成树。 返祖边，搜索到一个指向当前点到根的路径上的一个点的边。 前向边，指向生成树子树内一个点的边。 横叉边，其他边，指向兄弟子树。 有向图dfs生成树 以上四种边都有。 无向图dfs 阅读全文
posted @ 2024-10-25 07:04
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[复习] 数论基础 模运算 \[(a\pm b)\bmod p=((a\bmod p)\pm(b\bmod p))\bmod p \]\[(a\times b)\bmod p=((a\bmod p)\times(b\bmod p))\bmod p \]积性函数 \[\forall\gcd(x,y)= 阅读全文
posted @ 2024-10-24 11:35
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[复习] AC自动机 自动机 从一个状态通过接收一个信号转移到另一个状态。 其实就是从一个点走一种颜色的边到达另一个点，你会有一个初始点，然后每次走当前要走的颜色的边，会走到一个目标点，目标点保存着需要的答案。 AC自动机 以 \(Trie\) 为基础，\(kmp\) 的前缀函数思想构建的自动机。 阅读全文
posted @ 2024-10-24 07:47
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[复习] 组合数学基础 加法原理：各方案数无关，方案数相加。 乘法原理：各方案数相关，方案数相乘。 全排列：\(n\) 个不同的数排成一列的方案数 \[n! \]排列数：\(n\) 个不同的数选择其中 \(m\) 个排成一列的方案数 \[A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m!)} \]组合数： 阅读全文
posted @ 2024-10-23 22:11
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该文被密码保护。 阅读全文
posted @ 2024-10-22 08:26
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[复习] KMP 前缀函数 设 \(S_i\) 为字符串 \(S\) 的第 \(i\) 个位置。 我们设 \(\pi(i)\) 表示字符串以 \(i\) 结尾的前缀的最长公共前后缀的长度，也记作 border。 这里的前后缀都指的是真前缀、真后缀。 怎么 \(O(n)\) 求出 \(\pi(i)\) 阅读全文
posted @ 2024-10-19 19:57
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整体二分 本文通过介绍几道例题的解法，带你深入了解整体二分的精髓。 文末还有练习。 例题 大致按难度排序，其中，中间的三道题都是类似的。 P3527 [POI2011] MET-Meteors P3332 [ZJOI2013] K大数查询 P2617 Dynamic Rankings P1527 [ 阅读全文
posted @ 2024-10-11 22:38
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树上点分治 点分治 考虑我们要在一棵树上统计有关路径、连通块、符合条件的点对等信息。 暴力地，对于每一个节点，搜一遍它子树内的所有节点统计答案，搜一次是 \(O(n)\) 的，总的就是 \(O(n^2)\) 的。 点分治优化这个暴力。考虑到我们要统计的信息与树的父子结构无关。则对于当前子树内的一条路 阅读全文
posted @ 2024-09-26 21:48
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DP 套 DP 听名字猜不到它是个什么东西。 接下来用一道例题 P459 TJOI2018 游园会 来解释 DP 套 DP。 游园会 参考资料。 题目描述 小豆参加了 NOI 的游园会，会场上每完成一个项目就会获得一个奖章，奖章只会是 \(\texttt{N}\)、\(\texttt{O}\)、\( 阅读全文
posted @ 2024-09-26 21:42
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虚树 Virtual Tree 学习笔记 省流：直接看“总结”部分。 引入 P2495 [SDOI2011] 消耗战 题目大意：给一棵 \(n\) 个点的树，\(m\) 次询问 \(k\) 个点，要求切断一些边使点 1 不可达这些点，求最小切断的边权和。 \(n\le 2.5*10^5,m\le 5 阅读全文
posted @ 2024-09-26 21:39
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楼房重建 与 线段树前缀最大值 P4198 楼房重建 先来看原题：P4198 楼房重建 设 \(s_i=\frac{H_i}{i}\)，即斜率。 本质是要求 \(\max_{i=1}^{j-1}s_i\le s_j\) 的个数。 由于带单点修改，我们考虑在线段树上维护这个信息。 对线段树上每个节点 阅读全文
posted @ 2024-09-26 21:33
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2-SAT 学习笔记 本文同载于本人的洛谷文章。 参考资料 算法 2-SAT 用于解决什么样的问题？ 问题 给定 \(n\) 个大小为 2 的集合，每个集合要选其中一个元素，不能同时选，有 \(m\) 个条件 \((a,b)\) 代表元素 \(a,b\) 不能同时选，构造方案或判定无解。 例子 有 阅读全文
posted @ 2024-09-26 21:29
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子集反演 & 高维前缀和 & sos dp 学习笔记 子集反演 设 \(g(S)\) 表示集合 \(S\) 的答案，\(f(S)\) 为 \(S\) 的子集的答案和。 根据定义： \[f(S)=\sum_{T\in S} g(T) \]子集反演就是： \[g(S)=\sum _{T\in S}(-1 阅读全文
posted @ 2024-09-25 22:24
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四边形不等式优化（决策单调性 DP） 四边形不等式 对于定义域为整数的二元函数 \(w(i,j)\)，如果对于 \(a\le b\le c\le d\)，满足 \(w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c)\)（即交叉小于等于包含），则称 \(w(i,j)\) 满足四边形不等式。 阅读全文
posted @ 2024-09-13 22:19
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最小斯坦纳树 给定一张无相连通图，每条边有权值，有 \(k\) 个关键点，要求选择权值和最小的边使得关键点连通，求权值和。 类似最小生成树，但是限定了关键点就只能用指数级的复杂度解决，这里考虑类似状压 DP 的方法。 例题：P6192 【模板】最小斯坦纳树 首先最终答案显然是一个树。 所以我们设 \ 阅读全文
posted @ 2024-09-04 21:28
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关于树上背包及其正确性证明 upd on 2026-01-14：增加了关于限定背包大小时的复杂度证明的内容。 前言 2024.08.20：由于今天模拟赛 T1 想到了正解，然而我以为树上背包的复杂度是 \(O(n^3)\)，然后没有继续调试我的代码，然后也没有提交，后来发现树上背包的复杂度是 \(O 阅读全文
posted @ 2024-08-20 20:19
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__gnu_pbds::tree 用法简介 太长不看版 每次操作的复杂度是 \(O(\log n)\)。 #include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp> #include<ext/pb_ds/tree_policy.hpp> // or #include<bits/e 阅读全文
posted @ 2024-08-19 21:32
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O(n)-O(1) 线性 RMQ 学习笔记 \(O(n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询的 RMQ（区间最值）算法。 而我们正常 ST 表处理 RMQ 只能做到 \(O(n \log n)-O(1)\)。 用四毛子算法可以做到 \(O(n\log\log n)-O(1)\)。 四毛子算法：对原序 阅读全文
posted @ 2024-08-18 16:56
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反悔贪心 & 模拟费用流 参考资料来源 cyt 前言 很多找到一种可行的方案，匹配（选择）某些东西，使价值最优化的问题可以建出费用流模型。 但是直接跑费用流的复杂度是不对的。 我们又想到可以用简单的贪心思路解决这些问题，然而一般的贪心都假掉了。 于是我们考虑模拟费用流的退流操作来做贪心，这就是反悔贪 阅读全文
posted @ 2024-08-16 16:33
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wqs二分 参考资料 【学习笔记】WQS二分详解及常见理解误区解释 -ikrvxt -CSDN wqs二分 学习笔记 -Leap_Frog -Luogu wqs二分详解 -Hypoc_ -CSDN 前言 2024.08.13 模拟赛遇到恰好选 \(m\) 个的限制的反悔贪心做模拟费用流的题，然而不会 阅读全文
posted @ 2024-08-13 22:10
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