2025年7&8月习题集

2025年7&8月习题集

1. P4565 [CTSC2018] 暴力写挂。拆贡献、点分治、虚树。
2. arc203_c。组合数。
3. abc417_g。可持久化平衡树，复杂度分析。
4. CF1519F。Hall 定理，状压 DP。
5. P10800 「CZOI-R1」卡牌
6. P4094 [HEOI2016/TJOI2016] 字符串

1. P4565 [CTSC2018] 暴力写挂

考虑将原式转化

\[d(x)+d(y)-d\Big(\text{LCA}(x,y))+d'\big(\text{LCA}'(x,y)\big)\Big) \]

\[\frac12\Big(d(x)+d(y)+(x,y)-2d'\big(\text{LCA}'(x,y)\big)\Big) \]

考虑对左树点分治，记一个点到分治重心的距离为 \(dep\)，则一个点的权值为 \(d(x)+dep_x\)。然后考虑右树的贡献怎么办。

先把左树不同子树的点染不同颜色，当前连通块的点根据右树建虚树，那么把右树的贡献挂在 LCA 上，用 DP 找到子树内不同颜色的点的最大权值即可，只需记录两种不同颜色的最大权值即可转移。

复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，\(O(1)\) LCA 后瓶颈在建虚树时的排序，换成基数排序可以做到 \(O(n\log n)\)。

2. arc203_c

首先 \(K<H+W\) 是容易的。我们只考虑 \(K=H+W\)。

分两种情况：

1. 最短路径长度为 \(H+W-2\)。
   此时我们如果随便选两条边插入 \(K=H+W-2\) 的方案数里，多的情况只可能是出现如下图形：
   存在路径 \((i,j)\to(i,j+1)\to(i+1,j+1)\) 和 \((i,j)\to (i+1,j)\to(i+1,j+1)\)。
   如果已知这种图形在路径上的出现位置，方案数等同于从 \((1,1)\) 走到 \((H-1,W-1)\) 的方案数。枚举出现位置，所以减去的方案数为 \((H+W-3)\binom{H+W-4}{H-2}\)。
2. 最短路径长度为 \(H+W\)。
   发现出现恰好一次形如「右上右」或「下左下」，我们以前者为例。假设没有其他限制，那么方案数为其他随便排的方案数减去特殊图形的位置，为 \(\binom{H+W-3}{H}(H+W-2)\)。排除特殊图形前有 \(H\) 个下的方案数与之后有 \(H\) 个下的方案数，因为此时会超出边界，方案数为 \(\sum_{i=0}^{m-3}\binom{n+i}i\)，这个式子可以看做从 \((0,0)\to(n,i)\) 的方案数之和，即 \((0,0)\to(n+1,m-3)\) 的方案数，为 \(\binom{n+m-2}{m-3}\)。

3. abc417_g

考虑可持久化 FHQ_Treap，每次把 \(L_i,R_i\) 的平衡树合并成 \(i\)。但我们发现如果随机赋权，因为期望树高是树大小的对数，而树大小每次翻倍，树高会每次加一。

考虑按照两棵树根节点的 \(sz\) 合并，以 \(\frac {sz_x}{sz_x+sz_y}\) 的概率把 \(x\) 作为根。注意如果 \(sz_x+sz_y>Inf\)，那么要把 \(sz_y\) 右边截到 \(Inf\)。

时间复杂度 \(O(n\log V)\)，空间复杂度 \(O(n\log V)\)。

4.CF1519F

对于一种上锁方案，如果上了 \(c_{i,j}\)，则在左部点为箱子，右部点为锁的二分图中，左 \(i\) 右 \(j\) 连一条边，则一组可行的方案要求满足：

对于任意的箱子集合 \(S\) 有

\[\sum _{i\in S} a_i\le \sum _{i\in N(S)} b_i \]

其中 \(N(S)\) 为集合 \(S\) 在二分图中的邻域点集。

发现这个条件有点像 Hall 定理，考虑把每个箱子拆成 \(a_i\) 个点，每把锁拆成 \(b_i\) 个点。我们发现，一个方案合法的条件就是，左部点存在完备匹配，考虑 DP。

设 \(f_{i,j_1,j_2,\dots,j_m}\) 表示考虑完左边 \(i\) 个箱子，右边第 \(i\) 把锁还有 \(j_{i}\) 个点没有被选，\(j\) 可以用五进制压起来。

做记忆化搜索，表面上复杂度是 \(O(n5^{2m})\)，其实复杂度应该更低，因为一个状态可达要满足 \(\sum _{k\le i} a_k=(\sum b)-\sum j\)。所以飞快就跑完了。

5.P10800 「CZOI-R1」卡牌

相当于对于任意有序数对要满足 \(a\le a_i\Rightarrow b>b_i\)，对于相同的数的对只要满足一个方向就行。

从大到小枚举 \(d\)，那么 \(a,b,c\) 每次前缀多删一段，我们记录 \(va_i,vb_i,vc_i\) 表示第一次删掉的时间，那么选择一种 \(a,b,c\) 对答案的贡献则为 \(\min(va_i,vb_i,vc_i)\)，这样 \(d\) 对 \(a,b,c\) 的限制就考虑完了。

我们枚举这个 \(\min\) 值是谁，假设是 \(a\)，那么对 \(b,c\) 有下界限制。我们枚举 \(a\) 的值，那么对 \(b,c\) 又有一个下界限制，与前面的下界限制拼起来。于是 \(a\) 对 \(b,c\) 的限制就考虑完了，考虑 \(b\) 对 \(c\) 的限制。

当 \(b\) 增大时，\(c\) 的下界会不断减小然后小于 \(a\) 对 \(c\) 的下界，找到这个使 \(c\) 的下界小于 \(a\) 对 \(c\) 的下界的 \(b\)，前面的 \(b\) 的贡献可以预处理，后面的 \(b\) 的贡献都是 \(c\) 的下界。可以二分找到这个 \(b\)，也可以当 \(a\) 变化时移动指针。

可以做到 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)。

6. P4094 [HEOI2016/TJOI2016] 字符串

水黑。每次询问子串 \([a,b]\) 中所有子串与子串 \([c,d]\) 的 LCP 的最大值。

考虑二分答案，那么对于答案 \(mid\)，子串左端点可以取到 \([a,b-mid+1]\) 范围内。

对原串建 SA，然后找到 \([a,b-mid+1]\) 内最大的小于后缀 \(c\) 的后缀，找到最小的大于后缀 \(c\) 的后缀。

那么对原串按顺序建主席树即可，复杂度 \(O(n\log ^2n)\)。