2025年6月杂题集

2025年6月杂题集

1. P5101 [JOI 2017 Final] 绳 / Rope
   黑、结论。
2. P5103 [JOI 2016 Final] 断层 / Geologic Fault
   黑、旋转坐标系、时光倒流、树状数组。
3. P9531 [JOISC 2022] 复兴计划
   黑、贪心、动态 MST、增量构造、绝对值函数。
4. P4224 [清华集训 2017] 简单数据结构
   黑、复杂度分析、DP、暴力。
5. P9962 [THUPC 2024 初赛] 一棵树
   黑、凸包、可并堆、对顶堆。
6. JZOJ7261 ODST / AT_agc022_e [AGC022E] Median Replace
   (黑)、DP、矩阵乘法、不可删双指针。
7. P6881 [JOI 2020 Final] 火灾 / Fire
   黑、离线、扫描线、单调栈、笛卡尔树。
8. P4003 无限之环
   黑、网格图、黑白染色、费用流。

1. P5101 [JOI 2017 Final] 绳 / Rope

首先由于染色一次的费用是绳子的厚度，所以在一开始全部染好色一定最优。而题目要求染成两种颜色。

考虑一个结论，把所有颜色相同的极长段取出来，当且仅当除了首段和尾段外，其他所有段的长度都要为偶数，此时方案合法。

• 必要性：如果存在奇数段，那么中间的奇数段一定不能作为折痕，则永远无法折成长为二。
• 充分性：我们可以采取一下策略折成长度为二：先把尾段折成长为 \(1\)，然后折倒数第二段的中点，不断这样操作下去。

所以考虑把绳子分成若干长度为 \(2\) 的色块，因为长为 \(2\) 的色块可以组成任意偶数。我们分类讨论第一个 \(2\) 色块以 \(1\) 开头还是以 \(2\) 开头即可。

枚举绳子包含的颜色 \(i\)，如果一个色块包含 \(i\)，那么这个色块染成 \(i\) 一定不劣，对于剩下的色块，我们求出现次数最多的颜色即可。
于是用一个桶记录每种颜色出现的次数，如果一个色块包含 \(i\)，则把另一种颜色减掉。

随便用 set 维护一下就能做到 \(O(n\log n)\)。

2. P5103 [JOI 2016 Final] 断层 / Geologic Fault

首先时光倒流，我们从现在开始，每次把地面下沉，最后求出初始地面的深度即可。

把坐标轴逆时针旋转 \(45\) 度，即 \((x,y)\to (x-y,x+y)\)。那么初始地面位于 \((i,i)\)。

对于 \(D=1\)，就把 \(x_i\le X\) 的 \(i\)，对 \(y_i-2L\)。

对于 \(D=2\)，就把 \(y_i>X\) 的 \(i\)，对 \(x_i+2L\)。

发现 \(x,y\) 序列都是单调递增的，于是用树状数组维护 \(x,y\)，修改时二分出断点即可。

复杂度 \(O(n\log ^2n)\)。

3. P9531 [JOISC 2022] 复兴计划

考虑对于一条边，不同的 \(x\) 时的边权形成一个以 \(w_i\) 为中心的绝对值函数。

可以猜想，一条边能作为最小生成树的边时的 \(x\) 一定是一段区间 \([l_i,r_i]\)。

所以我们可以依次从小到大加边，对于 \(w_i\) 的边，如果不连通则直接连，否则找到树上路径上 \(w_j\) 最小的 \(j\)，则当 \(x\le \frac {w_i+w_j} 2\) 时 \(w_j\) 更优，否则 \(w_i\) 更优。于是令 \(r_j=\lfloor \frac {w_i+w_j} 2\rfloor,l_i=\lfloor\frac {w_i+w_j} 2\rfloor +1\)，同时将树上 \(j\) 断开，\(i\) 连上。

于是这样就能求出所有 \([l,r]\)。然后再在 \(X\) 序列上二分，然后加上一次函数，维护高度的前缀和与斜率的前缀和即可。

复杂度 \(O(nm+q)\)。

4. P4224 [清华集训 2017] 简单数据结构

题目的修改有很多限制，首先是值域为 \(10^6\)，其次每个数互不相同，还有每种数最多被操作 \(10\) 次。

考虑暴力 DP，由于第二问需要求开头的个数，所以设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 开头，长为 \(j\) 的上升倍数子序列的个数，显然 \(j< 20\)，并且 \(f_{i,j}\) 在 int 范围内。

首先是预处理，需要枚举每个数的倍数然后再枚举 \(f_i\) 的每个位置转移，计算量均摊 \(m\log ^2m\)。

接下来考虑每一种操作：

1. 往前面插入，枚举倍数转移即可，计算量均摊是 \(10\times m\log ^2 m\)。
2. 在前面删除，直接删掉前面的 DP 值不会对后面造成影响。
3. 在后面插入，这有点复杂，考虑把所有出现的因数拿出来，那么我们需要求出插入这个数后每个因数 \(f_{i,j}\) 的增量，于是设增量数组 \(t_{i,j}\)，我们 \(d^2\) 枚举这些因数之间的转移，\(d\) 为因数个数。这部分的计算量为 \(d^2\log m\)。
4. 在后面删除，与在后面插入同理。

对于询问，我们用一个桶 \(cnt_j\) 记录以 \(i\) 开头最长子序列为 \(j\) 时 \(i\) 的个数。

总计算量为 \(10\times m\log ^2m+10\times \sum d^2 \log m\)。不优化可以直接通过。

5. P9962 [THUPC 2024 初赛] 一棵树

首先考虑朴素的 DP，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树内选了 \(j\) 个黑点。

1. 对于每个点，先把所有儿子合并 \(f'_{x,i}=\min_{j\le i}f_{x,i-j}+f_{v,j}\)。
2. 考虑自己选不选，\(f'_{x,i}=\min (f_{x,i},f_{x,i-1})\)。
3. 加上到父亲的边权，\(f'_{x,i}\gets f_{x,i}+|2i-k|\)。

由于 \(|2i-k|\) 是凸的，于是 \(f\) 无论何时都是凸的。

因为凸性质，对于合并儿子的部分，可以记录 \(f\) 的差分数组与 \(f_{x,0}\)，则合并就是将差分数组归并。这时就可以用可并堆记录差分数组，合并为 \(O(\log n)\)。

考虑怎样加边权，对于 \(i\le \lfloor k/2\rfloor\) 的部分，每个差分都加上 \(-2\)；而对于 \(i=\lfloor k/2\rfloor+1\)，当 \(k\) 为奇数时差分不变，否则差分加 \(2\)；对于 \(i>\lfloor k/2 \rfloor+1\) 的部分，每个差分都加上 \(2\)。

所以把一个堆换成一组对顶堆，保证第一个堆大小不超过 \(\lfloor k/2\rfloor\)，合并时分别把两个堆合并再调整堆的大小。由于每个点只会往堆里新增一个元素，且每个元素会从第一个堆往第二个堆里移动依次，所以复杂度是 \(O(n\log n)\)。

最终复杂度 \(O(n\log n)\)。

6. JZOJ7261 ODST / AT_agc022_e [AGC022E] Median Replace

首先考虑如何判定一个串是否合法，如果没有问号。考虑每次加一个字符进来，发现有以下最优策略：

1. *00+0 / *00+1 / *01+0 消成 *0。
2. *10+1 / *01+1 消成 *1。
3. 其他情况不操作。

那么除了 01 与空串，其他情况都形如任意个 1 拼接上最多两个 0。
又发现，消除两个 0 只需要至少三个 1 即可，即 11100。所以大于三个 1 的情况都可以归类为等于三个的情况。
那么有这些状态：

结尾 0 数 \ 开头 1 数（x,y）	0	1	2	>2
0	空串 / 01	好	无	好
1	不好	无	好	好
2	无	不好	无	好

其中「无」表示长为奇数时不存在。
用空串的位置表示 01 是因为空串只有在位置 0 才出现，不会冲突，并且发现 01 的转移和空串是一样的，都是加 0 变成 \((1,0)\) 或加 1 变成 \((0,1)\)。
当 1 的个数大于二时默认长为奇数，因此都是「好」。
又发现当 1 的个数为二时，不是不存在就是「好」，因此可以考虑继续缩减状态，把大于 \(2\) 的也归类到等于 \(2\)，得到下表。

结尾 0 数 \ 开头 1 数	0	1	2
0	空串 / 01	好	好
1	不好	无	好
2	无	不好	好

由此可以 \(O(n)\) 完成不带修改的版本。接下来考虑带修改的版本。

我们把转移写成矩阵，这样转移就可以合并了，直接套线段树是 \(O(Q\log QM^3)\)。题目的 \(L,R\) 类似双指针的移动，然而这个转移没有逆，考虑不带删双指针。

不带删双指针解决这样的问题：维护 \([L,R]\) 的信息，并且信息只有结合率且不能作差 ，\(L,R\) 分别不下降。

我们维护三个数 \(L,M,R\)，以及 \((M,R]\) 的信息与满足 \(L\le i\le M\) 的区间 \([i,M]\) 的信息。求 \([L,R]\) 的信息由 \([L,M]\) 与 \((M,R]\) 相加得到。每次 \(R\) 右移时就直接移动，维护 \((M,R]\) 的信息。而当 \(L\) 右移时，如果 \(L\le M\) 则直接用维护好的信息，否则令新的 \(M=R\)，记录 \([L,M]\) 这段区间的每个后缀的信息。

这样做的话，每个节点只作为 \(i\) 求了一次信息，也只作为 \(R\) 求了一次信息，复杂度因此是 \(O(n)\) 的。

再看这道题，直接用这个方法实现就可以做到 \(O(QM^3)\)，无法通过。可以继续优化：考虑一次转移矩阵是 \(O(M)\) 的位置非空，而 \(O(M)\) 有值的矩阵乘 \(O(M^2)\) 有值的矩阵可以做到 \(O(M^2)\)，具体地，类似于 \([i,j]\times [j,k]\to [i,k]\) 中，\(j\) 行只有第 \(k\) 列是有值的。

于是复杂度降为 \(O(QM^2)\)。

7. P6881 [JOI 2020 Final] 火灾 / Fire

首先把时间轴展开，那么就是在矩形上对若干个四十五度的直角三角形范围取最值。

转换一下，按权值从小到大加入这些三角形，每次覆盖之前染过色的位置。那么发现最后每种边权的染色区域形如一个平行四边形，并且与上一个大于它的位置 \(L_i\) 与下一个大于它的位置 \(R_i\) 有关。使用单调栈找到 \(L_i,R_i\)。

考虑暴力染这些平行四边形，如果可以用 \(\min(i-L_i,R_i-i)\) 次数染一个权值，那么根据笛卡尔树的性质，总次数是 \(O(n\log n)\) 的，证明同启发式合并的证明。

对于 \(i-L_i>R_i-i\)，发现是对 \(R_i-i\) 个竖线区间染色，把询问离线下来，对于每一列都用差分打上加法标记。

对于 \(i-L_i\le R_i-i\)，发现是对 \(i-L_i\) 个斜线区间染色，每个区间的左端点在同一列上。考虑转换一下坐标系，\((x,y)\to (x,y-x)\)，那么就变成了对同一列修改，而且发现查询仍然是对于同一行。

对于 \(L_i\) 或 \(R_i\) 不存在的情况用同理染色即可，只是不需要打减法标记。对于 \(a_i\) 相同的位置我们指定 \(i\) 越大则权越大即可。

总复杂度 \(O(n\log ^2n)\) 但是跑得非常快，原因在于 \(\sum \min(i-L_i,R_i-i)\) 很难卡满。

8. P4003 无限之环

数据范围是 \(nm\le 2000\)，题目的要求也比较复杂，所以考虑网络流。由于是网格图，先黑白染色。

考虑如何建图：

1. 对于只有一条出边是容易的，存在连 0 边，邻边连 1 边，对边连 2 边。
2. 对于 L 型，如果从上右转成了右下，那么可以看做把上换成了下，费用加一。如果是转 180 度，那么可以看做两条边都取反，费用各加一。所以对于存在的两边建 0 边，不存在的两边建 1 边。注意要确保不能让两条相对的边同时选，所以相对的边前面连同一个点，限制容量为 1。
3. 对于 T 型，考虑对不存在的边连 2 边，两端连 1 边，中间连 0 边，让总费用先减 2 即可，这样就可以得到 0、1、2 的权值。