随笔分类 - 多变量微积分

多变量微积分笔记24——空间线积分
摘要:线积分或路径积分是积分的一种。在数学中,线积分的积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。在物理学上,线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功。 阅读全文

posted @ 2018-06-21 18:40 我是8位的 阅读(1743) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记23——散度定理
摘要:散度定理,又称为高斯散度定理、高斯公式、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。它经常应用于矢量分析中。矢量场的散度在体积D上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。 阅读全文

posted @ 2018-06-08 14:05 我是8位的 阅读(4771) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记22——空间曲面的通量
摘要:在上一章中,我们知道了怎样计算球面和柱面的通量,但是很多时候,空间的曲面不容易用球坐标或柱坐标表示,此时怎样计算通量? 阅读全文

posted @ 2018-06-04 10:27 我是8位的 阅读(1548) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记21——空间向量场中的通量
摘要:向量场 vector field(矢量场)是由一个向量对应另一个向量的函数。向量场广泛应用于物理学,尤其是电磁场。建立坐标系(x,y,z)。空间中每一点(x0,y0,z0)都可以用由原点指向该点的向量表示。因此,如果空间在所有点对应一个唯一的向量(a,b,c),那么时空中存在向量场F: (x0,y0,z0)→(a,b,c) 阅读全文

posted @ 2018-05-30 13:51 我是8位的 阅读(2661) 评论(1) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记20——球坐标系
摘要:球坐标系是三维坐标系的一种,用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置,它以坐标原点为参考点,由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。 阅读全文

posted @ 2018-05-23 19:10 我是8位的 阅读(6734) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记19——直角坐标系和柱坐标系下的三重积分
摘要:三重积分由平面转到了空间,但本质上与二重积分一致;柱坐标系是指使用平面极坐标和Z方向距离来定义物体的空间坐标的坐标系。 阅读全文

posted @ 2018-05-16 21:49 我是8位的 阅读(6098) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记18——连通区域
摘要:设R是一区域,若属于R内任一简单闭曲线的内部都属于R,则称R为单连通区域。更通俗地说,单连通区域是没有“洞”的区域,多连通区域是有“洞”的区域。 阅读全文

posted @ 2018-05-14 19:22 我是8位的 阅读(2768) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记17——通量
摘要:在流体运动中,通量是单位时间内流经某单位面积的某属性量,是表示某属性量输送强度的物理量。在大气科学中,包含动量通量、热通量、物质通量和水通量。 阅读全文

posted @ 2018-05-03 18:48 我是8位的 阅读(5958) 评论(2) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记16——格林公式
摘要:平面区域 上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是格林公式。在物理上,格林公式也揭示了一个重要特性——守恒。 阅读全文

posted @ 2018-04-24 18:18 我是8位的 阅读(4385) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记15——梯度场和势函数
摘要:梯度场有很多有趣的性质,独立路径能极大地简化计算量。对于简单的向量场,我们可以用猜测法找出势函数,从而判断其是否是梯度场,但是对于复杂的向量场,就必须使用一套行之有效的方案。 阅读全文

posted @ 2018-04-24 18:17 我是8位的 阅读(4337) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记14——保守场和独立路径
摘要:场论理论包括多种形式,比如简单的向量场,而梯度场则是由数量场所得到的矢量场,它的定义与坐标系的选择无关。梯度场在微分学、积分学以及算子的定义方面起着重要的作用。 阅读全文

posted @ 2018-04-18 19:24 我是8位的 阅读(3477) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记13——线积分
摘要:线积分或路径积分是积分的一种。在数学中,线积分的积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。在物理学上,线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功。 阅读全文

posted @ 2018-04-12 07:47 我是8位的 阅读(7583) 评论(0) 推荐(1) 编辑

多变量微积分笔记12——平面向量场
摘要:当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时,数学上只需用一个代数量来描绘,这些代数量(即标量函数)所定出的场就称为标量场。最常用的标量场有温度场,电势场,密度场,浓度场等等。 阅读全文

posted @ 2018-04-10 18:06 我是8位的 阅读(1317) 评论(0) 推荐(1) 编辑

多变量微积分笔记11——变量替换
摘要:在二重积分中,极坐标替换是一种特殊情况,更一般的变量替换后的面积元是通过雅可比行列式来关联,替换后的积分域也会随之变动。 阅读全文

posted @ 2018-03-29 16:53 我是8位的 阅读(6260) 评论(2) 推荐(1) 编辑

多变量微积分笔记10——二重积分的应用
摘要:二重积分的几何意义是计算物体的体积,但是在实际问题中,二重积分还可以用来计算面积和均值。 阅读全文

posted @ 2018-03-19 15:25 我是8位的 阅读(4494) 评论(0) 推荐(1) 编辑

多变量微积分笔记9——极坐标下的二重积分
摘要:直角坐标是常用的坐标法,但是对于一些特别的问题,在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候,不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料的简洁,也能让问题直观和清晰起来。 阅读全文

posted @ 2018-03-13 18:03 我是8位的 阅读(8732) 评论(1) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记8——二重积分
摘要:二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。 阅读全文

posted @ 2018-03-09 11:54 我是8位的 阅读(11751) 评论(2) 推荐(2) 编辑

多变量微积分笔记7——非独立变量
摘要:非独立变量,一个量改变会引起除因变量以外的其他量改变。把非独立变量看做是独立变量,是确定物理量间关系的一大忌。 正确确定物理表达式中的物理量是常量还是变量,是独立变量还是非独立变量,不但是正确解答有关问题的前提和保障,而且还可以简化解答过程。 阅读全文

posted @ 2018-03-01 14:31 我是8位的 阅读(1894) 评论(1) 推荐(0) 编辑

多变量微积分笔记6——拉格朗日乘数法
摘要:基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法),就是求函数 f(x1,x2,...) 在 g(x1,x2,...)=C 的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数 λ (即拉格朗日乘子),将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成与变量数量相等的等式方程,从而求出得到原函数极值的各个变量的解。拉格朗日乘子是数学分析中同一名词的推广。 阅读全文

posted @ 2018-02-27 18:04 我是8位的 阅读(5762) 评论(0) 推荐(1) 编辑

多变量微积分笔记5——梯度与方向导数
摘要:梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。 阅读全文

posted @ 2018-02-02 10:07 我是8位的 阅读(6701) 评论(1) 推荐(1) 编辑

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