多变量微积分笔记13——线积分

   线积分或路径积分是积分的一种。在数学中,线积分的积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。在物理学上,线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功。

线积分

  在物理学上,力所做的功等于力与位移的乘积;更严格地说,力在足够小的距离上做的功等于力的向量与位移向量的点积:

  

  功描述是需要多少能量才能使质点以这样的方式运动。

  如果外力不是恒力,要算出外力所做的总功,就是把运动轨迹分成无限小段,然后把外力对每一小段所做的功(也就是力的向量和距离的向量的点积)加起来,其本质上就是积分。

  假设C是外力作用下运动的轨迹,那么外力在该轨迹上做的总功:

 

  然而这种方式不利于计算,因为无法对向量进行积分。现在将位移变成瞬时速度和微小时间的乘积:

 

  这表示在每个微小的时间段内,质点移动了微小的距离。W可以解释为从t1到t2时间内,质点在外力的作用下移动了一段距离,在这段距离上力所做的总功:

 

  这种方式将无法计算的向量积分变成了可计算的非向量积分。

向量场中的线积分

  已知外力和外力作用下的运动轨迹,力场F = -yi + xj,运动轨迹C:x = t, y = t2,  0 ≤ t ≤ 1,计算力在该轨迹上做的功。

  在这里,F是外力,C是在F作用下的运动轨迹,由运动轨迹的参数方程可知,y = x2,这相当于在外力F的作用下运行了一段抛物线:

  上图中红色向量就是在外力F作用下运动的轨迹C,为了理解方便,将t看成时间(可参考《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》)。F在C上的总功:

  另一种方式理解,Fr都有两个分量:

  这里存在两个变量,但是单变量积分无法对两个变量做积分,所以需要用另外一个变量t替换x和y:

  需要注意的是,线积分只取决与轨迹C,而不是如何参数化,我们可以保留任何一个参数,对于本例来说,y = x2,可以去掉变量y:

几何法计算线积分

  再来看一下几何方法:

  如上图所示,曲线是质点运动的轨迹,Δr是在外力F = Mi + Nj作用下移动的微小距离,它是一个向量,与曲线相切;TΔr方向的单位向量;ΔS是轨迹上对应的弧长,是一个标量。

  如果是瞬时速度,相当于位移关于时间的微分:

 

  外力在轨迹上C上做的总功:

 

  FT的点积是标量,这就将不能积分的dr转换成了可积的ds。

示例1

  几何法对某些问题的处理会更简单:质点在力场F = xi + yj中沿以原点为圆心,a为半径的圆做逆时针圆周运动,对于圆上的任一点,都存在TF

 

  如果用参数方程处理,对于圆来说x2 + y2 = a2,可以用θ替换x和y:

示例2

  如果力场变为F = -yi + xj,则在轨迹上的任意点,F平行于T

  C是沿着圆的运动轨迹,ds是轨迹上微小的弧长,所以弧长的积分等于轨迹长度len(C)。如果运动一周:

综合示例

示例1

  在向量场F = <xy, x2 + y2>中,计算线积分∫cFdr

  a)

  b)

  a)

  根据轨迹参数化:

  b)

  C1轨迹上,x = 1不变,dx=0,1 ≤ y ≤ 4:

  C2轨迹上,y = 4不变,dy=0,1 ≤ x ≤ 2:

 

示例2

  在向量场F = <xy, x2 + y2>中,C的轨迹函数是y = x2,从(1,1)到(2,4)。用两种参数方程计算线积分∫cFdr,1) x = t,y = t2  2) x = et,y = e2t

  1)

  2)

示例3

  如下图所示,在向量场F = yi + xj中,质点移动的轨迹是C1→C2→C3,三段轨迹围成了闭合的扇形,扇形的半径是1,弧度是 π/4,求力场中对质点的总功。

  C1的轨迹在x轴,从(0,0) 到 (1,0),y = 0保持不变:

  C2的轨迹在是单位圆的一段弧长,可以参数化x,y参数:

  C3的轨迹从(21/2/2, 21/2/2)到(0,0),将其看作t时间内的位移,参数化后:

 

  在这里我们注意到x = y,所以可以进一步参数化:

 

  因为质点是从(21/2/2, 21/2/2)到(0,0),所以参数替换后的积分域的上限是0,下限是21/2

 

  在力场中的移动所做的总功为0,从图中看,就是从起点出发,最终回到了起点。

 


    作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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posted on 2018-04-12 07:47  我是8位的  阅读(14540)  评论(0编辑  收藏  举报

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