多变量微积分笔记6——拉格朗日乘数法

  基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法),就是求函数 f(x1,x2,...) 在 g(x1,x2,...)=C 的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数 λ (即拉格朗日乘子),将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成与变量数量相等的等式方程,从而求出得到原函数极值的各个变量的解。拉格朗日乘子是数学分析中同一名词的推广。

什么是拉格朗日乘数法

  简单地说,拉格朗日乘数法是用来最小化或最大化多元函数的。如果有一个方程f(x,y,z),在这个方程里的变量之间不是独立的,也就是说这些变量之间是有联系的,这个联系可能是某个方程g(x,y,z) = C;也就是g(x,y,z) = C定义了x,y,z之间的关系,这个关系对变量做出了一定的的限制,我们需要在这个限制下来最小化或最大化f(x,y,z)。

  这里的最值不能简单地使用临界点,因为临界点通常不满足关系方程g。如何解决这个问题呢?当这个限制g(x,y,z)非常简单的时候,我们可以解出其中一个变量的表达式,把这个表达式代入f(x,y,z)后求得最值,这也是中学阶段常用的方法。但问题是,很多时候我们并不能解出x,y,z,因为关系方程g太复杂了,这就需要一个全新的方法求解,拉格朗日乘数法就是其中一种。

寻找最值

  示例:找出双曲线xy = 3上离原点最近的点。

  如果(x, y)是曲线上的点,原点到该点的距离是:

 

  求离原点最近的点实际上是求f(x,y)的最小值。可以使用一个更容易的方程去掉根号:

 

  在计算最小值时候有一个限制是:

 

  把这个较为简单的例子用等高线图表示:

 

  很明显,当f和g相切的时候,能得到f的最小值。如果把双曲线看作自身的等高线,那么当f的等高线和g的等高线相切时,f值最小。实际上这也是找到最值的一般情形。

  如果两个等高线相切,则二者在切点处的切线也相同,也就是说它们的梯度向量平行,即:

  如果两个向量平行,则其中一个向量是另一个向量的倍数,由此得到:

 

  这里的λ是一个常数,我们需要做的是找到这个λ和特定的(x,y)使得上式成立。这实际上是把2个变量加一个关系限制的最值问题转换为一个含有3个变量的方程组。

  现在已经通过梯度向量平行,将原来的最值问题转换为一般的方程组,这个方程组被称为拉格朗日方程组,它的解就是最值点。 

  接下来就是解方程组,可以将其看作是关于xy的矩阵方程:

  一个满足方程组的解是x = 0, y = 0,但这个解不满约束条件g(x,y) = xy = 3;此外,只有当系数行列式的值是0时,方程才有多个解: 

  

  把两个值分别代入方程组:

 

  现在可以回答原问题,双曲线xy = 3距离原点最近的点有两个:(31/2, 31/2)和(-31/2, -31/2)。 

  在这个例子中,λ就是拉格朗日乘子。

最小值和最大值

  拉格朗日乘数法并不会告诉我们最值的类型,结果可能是最大值、最小值或鞍点,由于存在限制条件,这里也不能像《多变量微积分3——二元函数的极值》那样使用二阶导数判断。那么如何判断是最大值还是最小值呢?只能通过将拉格朗日方程组的解代入问题方程f来判断。举例来说,如果有三组解,代入f后分别是4,6,9,在不存在边界值时,4就是最小值,9就是最大值;如果存在边界,还需要比较边界值。在双曲线的例子中,由于能够确定边界在无穷远处,所以其结果就是最小值。

表面积最小的金字塔

  给定金字塔的体积和底面积(底面的三边确定,分别是a1,a2,a3),如何建造一个表面积最小的金字塔?

 

  如上图所示,将金字塔模型放入三维坐标系中,底面对应xy轴。由于体积和底面积已知,根据体积公式,高也是定值,那么实际问题就是回答Q点的位置。一种思路是利用向量的叉积计算三角形的面积(参考《线性代数笔记4——向量3(叉积)》): 

 

  展开后将得到一个很长的式子,看起来并不是什么好方法。现在换一种思路,利用三角形面积的几何公式,如下图所示:

  h1是三角形PP1P2的高,设点Q是(x,y,0),则:

  这就转换成了有三个变量的函数,目标是求得f的最小值:

 

  接下来需要寻找约束条件g。由于a1⊥h1且a1⊥h,所以a1垂直于h1和h所在的平面,a1⊥u1

  上图可知:

 

  这就是约束条件g:

 

  知道了f和g,就可以使用拉格朗日乘数法:

 

  当Q点的位置距离三边距离相等时,金字塔的表面积最小。

 

  备注:

  f对u1偏导将u2和u3看作常数,这相当于求f(u)的导数,

综合示例

示例1

  在椭圆x2 + 4y2 = 4中有内接的矩形,该矩形的边平行于x轴和y轴,找出这些矩形中周长最大的一个。

 

  如上图所示,长方形的周长函数是f(x,y) = 4x + 4y,约束函数g(x,y) = x2 + 4y2 = 4

 

  由于拉格朗日乘数法无法确定最值的类型,所以还要对函数边界进行计算。当P在椭圆上移动时,如果正好落在x轴上,则长方形退化成直线,此时 ;另一个极值是,所以判定 是最大值,此时长方形的一点的坐标是

示例2

  计算f(x,y,z)= x2 + x + 2y2 + 3z2在约束条件x2 + y2 + z2 = 1下的最值。

  由于约束条件是球体,所以不存在边界,只需把这些解导入f即可。当点在(-1,0,0)时,f最小,f = 0;当点在(1/4,0,±151/2/4)时f最大,f = 25/8

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2018-02-27 18:04  我是8位的  阅读(7401)  评论(0编辑  收藏  举报

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