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摘要： 很有意思的题。 根据题述条件，不难看出一个合法的点亮灯泡的方案相当于一个极大独立集。也就是说，我们要构造一个 \(m\) 条边、最大度数为 \(d\) 的无向连通图，使得图中的极大独立集个数最大化。 我们指出，使得极大独立集个数最大化的图，一定可以取一棵树。 证明 使用调整法。 任取一个极大独立集个 阅读全文

摘要： 诡异。 设三种手势分别为 \(\texttt{R},\texttt{S},\texttt{P}\)。分类讨论获胜的人中有几种手势。 \(1\) 种手势 不妨设获胜的人都出 \(\texttt{R}\)，这些人的两边必须都出 \(\texttt{S}\)。 若 \(n\) 为偶数且 \(\texttt 阅读全文

摘要： 赛时做法，和官解不太一样。 设 \(x\) 的出现次数为 \(c_x\)。 不难推出 \[\begin{align*} f(0)&=\sum_{v=0}^{2^m-1}\left\lfloor\frac{c_v}{2}\right\rfloor\\ f(x)&=\sum_{v=0}^{2^m-1}[ 阅读全文

摘要： 难点在于会 NTT。 尝试刻画 \(x,y\) 之间存在长度为奇数的路径的条件。显然 \(x,y\) 要在同一个连通块中。注意到若连通块中存在奇环，则任取一条路径走奇环即可改变其长度奇偶性，因此一定存在长度为奇数的路径；若连通块为二分图，则存在长度为奇数的路径当且仅当 \(x,y\) 在二染色后异色 阅读全文

摘要： 定义域空间 \(S_1\times\cdots\times S_m\) 和距离函数都是连续的，所以函数值域也是连通的，我们只需要分别求出最小值和最大值即可。 先求最大值。首先证明，对于关于 \(x\) 的函数 \(D(a,x)+D(x,b)\)（\(x\in S_i\)），最大值一定可以在 \(S_ 阅读全文

摘要： 写这个题跟用户名没啥关系。 设 \(a_i=0\) 的位置为 \(c_1,\cdots,c_m\)，\(pre_i\) 为 \(a_{1\sim i}\) 中 \(0\) 的个数。可以发现 \(b_{c_i}\) 是严格单调递增的，设其中的数值构成的集合为 \(S\)。 从值域考虑，不难发现对于非 阅读全文

摘要： 世界机器还是太厉害了，来点唐唐做法。 设 \(x=\dfrac pq\)，\(y=1-x\)。 容易发现 \(l_il_{i+1}\) 的组合意义就是从相邻的连续 \(0\) 段中各选出一个 \(0\) 的方案数。根据期望的线性性，我们相当于要求 \[\sum_{1\leq i<j\leq n}P( 阅读全文

摘要： 先考虑 DP。用 \(f_i(n)\) 表示只考虑第 \(0\sim i-1\) 位，\(f(n,k)\) 的最大值。若 \(n\geq 2^{i-1}k\)，则 \(k\) 个数的第 \(i-1\) 位都可以放 \(1\)，对按位与值的贡献为 \(2^{i-1}\)。由于 \(f_{i-1}(x) 阅读全文

摘要： 提供一个至多 \(m\) 次的做法。 一个经典结论是，任取无向连通图 \(G\) 的两棵生成树 \(T_1,T_2\)，则 \(T_1\) 必然可以通过若干次“加入一条非树边，删去一条树边”的操作变成 \(T_2\)。 证明 显然存在一条 \(T_2\) 中的树边 \(e\)，使得 \(e\) 为 阅读全文

摘要： 不是很难。 考虑固定终点 \(d\)，如果一条有向边 \(u\rightarrow v\) 的路标包含 \(d\)，则这条有向边是可以走的。显然每个点的出度至多为 \(1\)，因此每个连通分量必然是一棵内向树或一棵内向基环树。而 \(d\) 的出度恰好为 \(0\)，因此固定终点为 \(d\) 时， 阅读全文