题解：CF2255D How Long Until Nothing Remains?

这题真简单吧。

不妨先固定操作次数 \(k\)，设第 \(j\) 次操作选择了 \(p_j\)。那么不难归纳得出，最终

\[a'_i=\left\lfloor\frac{a_i+\sum_{j=1}^{k}[p_j\neq i]2^{j-1}}{2^k}\right\rfloor \]

不妨设 \(w_i=\sum_{j=1}^k[p_j=i]2^{j-1}\)，那么式子变成

\[a_i'=\left\lfloor\frac{a_i+2^k-1-w_i}{2^k}\right\rfloor=\left\lceil\frac{a_i-w_i}{2^k}\right\rceil \]

我们希望最终 \(a_i'=0\)，因此对于所有 \(1\leq i\leq n\)，\(w_i\geq a_i\)。

问题转化为，有价值为 \(2^0,\cdots,2^{k-1}\) 的物品各一个，要把每个物品分配给一个 \(i\)，使得每个 \(i\) 分配到的物品的价值总和至少为 \(a_i\)。

考虑贪心。设 \(d_i\) 表示 \(i\) 当前还缺多少才能达到 \(a_i\)。用大根堆维护所有 \(d_i\)，按价值从大到小考虑每个物品，每次取出堆中最大的 \(d_i\)，把当前物品分配给 \(i\) 即可。

贪心正确性证明

设当前未分配的最大价值为 \(w\)，最大的需求是 \(d_i\)。

若 \(d_i>w\)，则价值更低的物品的价值之和为 \(w-1\)，此时不把 \(w\) 分配给 \(d_i\) 必然不优。

若 \(d_i\leq w\)，设存在某种合法方案没有把 \(w\) 分配给 \(d_i\)，而是分配给了更小的 \(d_j\)，且分配给 \(d_i\) 的 \(w\) 之和为 \(S\)，那么把 \(S\) 分配给 \(d_j\)，\(w\) 分配给 \(d_i\) 显然合法。\(\Box\)

考察合法的 \(k\) 的范围。首先要有 \(k\geq n\)。其次，若取 \(k=n+30\)，此时可用的权值包含 \(2^{30},\cdots,2^{n+29}\)，必然合法。因此我们只需要从小到大枚举 \(n\leq k\leq n+30\) 判断是否合法即可。

但是 \(2^{n+29}\) 级别的数显然不能直接计算。观察到指数 \(\geq 30\) 的大权值必然能消去恰好一个 \(d_i\)，而恰好有 \(\max(k-30,0)\) 个大权值，因此我们直接从 \(a\) 中去除前 \(\max(k-30,0)\) 大，剩下的再和 \(\leq 2^{29}\) 的小权值贪心即可。容易实现单次 \(\mathcal{O}(\log^2{V})\) check。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\sum n\log{n})\)，瓶颈在于排序。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using ll = long long;
using i128 = __int128;
using ui = unsigned int;
using ull = unsigned long long;
using u128 = unsigned __int128;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;
const int MAXN = 2e5 + 5;

template<typename T> T lowbit(T x) { return x & -x; }
template<typename T> void chkMin(T &x, T y) { x = y < x ? y : x; }
template<typename T> void chkMax(T &x, T y) { x = x < y ? y : x; }
constexpr int lg2(ll x) { return 63 ^ __builtin_clzll(x); }
constexpr ll bitCeil(ll x) { return x == 1 ? 1ll : 1ll << lg2(x - 1) + 1; }

int tc, n, a[MAXN];

bool check(int k) {
	int c = max(k - 30, 0);
	priority_queue<int> Q(a + 1, a + n + 1 - c);
	for (int i = min(k, 30) - 1; i >= 0 && !Q.empty(); --i) {
		int x = Q.top();
		Q.pop();
		if (x > (1 << i)) {
			x -= 1 << i;
			Q.emplace(x);
		}
	}
	return Q.empty();
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	cin >> tc;
	while (tc--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
		sort(a + 1, a + n + 1);
		for (int k = n; k <= n + 30; ++k) {
			if (check(k)) {
				cout << k << '\n';
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}