题解：P8389 [COI 2021] Izvanzemaljci
我声称我的做法是对的。
欢迎来 hack！
二分 \(L\)，我们判断能否用至多 \(K\) 个边长 \(\leq L\) 的正方形覆盖所有点。注意这里钦定每个正方形内都有点。
若仅使用一个正方形，判断是否有 \(\max(mxX-mnX,mxY-mnY)\leq L\) 即可。
对于两个不交的正方形，必然存在一个轴，使得这两个正方形在轴上对应的区间不交。如果钦定这个轴为主轴，那么对于所有主轴坐标相同的点，我们只关心次轴坐标的最小值和最大值。
若使用两个正方形，不妨钦定 \(x\) 轴为主轴。设所有不同的主轴坐标为 \(p_1<\cdots<p_m\)，那么我们可以枚举 \(1\leq i<m\)，判断能否用两个边长 \(\leq L\) 的正方形分别覆盖 \(x\leq p_i\) 和 \(x\geq p_{i+1}\) 的点即可。
若使用三个正方形，考察这三个正方形两两间的不交轴，至少有两个不交轴是相同的。不妨设这个相同的不交轴是 \(x\) 轴，那么这三个正方形两两间的不交轴只有 \((x,x,y)\) 和 \((x,x,x)\) 两种类型。
对于 \((x,x,y)\)，我们发现这三个正方形一定是这样的形式：
此时不难发现 \(A\) 一定是越大越好。因为若存在合法方案使得 \(A\) 的右边界能够向右延伸，我们延伸出去，再平移 \(B,C\) 的左边界即可得到另一个合法方案。设所有不同的主轴坐标为 \(p_1<\cdots<p_m\)，我们找出最大的 \(l\) 使得 \(A\) 能覆盖 \(x\leq p_l\) 的点，然后对 \(x>p_l\) 的点跑两个正方形的做法即可。
较为复杂的是 \((x,x,x)\)。此时三个正方形一定是这样的形式：
设 \(B\) 包含了所有 \(p_l\leq x\leq p_r\) 的点。考察 \(l,r\) 合法的条件：
- 显然 \(x\leq p_{l-1}\) 的点能被一个边长 \(\leq L\) 的正方形覆盖，\(x\geq p_{r+1}\) 的点也是。
- 而对于 \(p_l\leq x\leq p_r\) 的点，能包住它们的正方形的最小边长为 \(a=\max(p_r-p_l,d(l,r),1)\)，其中 \(d(l,r)=\max\limits_{p_l\leq x_i\leq p_r}y_i-\min\limits_{p_l\leq x_i\leq p_r}y_i\)。显然要满足 \(a\leq L\)。
- 考虑 \(B\) 能取到的最靠左的左边界为 \(\max(p_{l-1}+1,p_r-a)\)，于是还要满足 \(\max(p_{l-1}+1,p_r-a)+a\leq p_{r+1}-1\)。
对 \(r\) 从小到大扫描线。显然第一个条件是容易维护的，第二个条件双指针加上单调队列也很容易维护。
对于第三个条件，显然我们只用判断是否有 \(p_{l-1}+1+a\leq p_{r+1}-1\)。而观察到 \(p_{l-1}+1+p_r-p_l\leq p_r\leq p_{r+1}-1\)，因此实际上只需要判断是否有 \(p_{l-1}+1+\max(d(l,r),1)\leq p_{r+1}-1\)。使用线段树加单调栈容易维护出 \(p_{l-1}+d(l,r)\)，而前面两个条件会把 \(l\) 限制在一个区间内，所以可以直接查询区间最小值，为了构造方案还需要记录最小值位置。这样没有考虑到对 \(1\) 取 \(\max\)，注意到 \(d(l,r)=0\) 的 \(l\) 是一段后缀 \([s,r]\)，不难在扫 \(r\) 的同时维护这个 \(s\)。于是我们只需要分成两段区间来查询即可。
于是我们就得到了 \(\mathcal{O}(n\log{n})\) 的 check。
判定过程中记录方案类型和分界线即可得到构造。可以先通过分界线将点进行分组，然后对于同一组内的点，先求出包含该组内点的最小正方形，然后把这个正方形根据方案类型贴到四个角之一。这里要注意细节：对于 \((x,x,x)\) 类型的中间的正方形，直接贴到最左侧可能是错的，还需要考虑前面的正方形的右边界。\((y,y,y)\) 类型同理。
注意到我们二分时判定的是用至多 \(K\) 个边长 \(\leq L\) 的正方形能否覆盖所有点。所以构造方案时，若正方形个数不足 \(K\)，还需要在 \(3\times 10^9\) 的边界处补充若干个正方形。
实现起来有很多细节，可以结合代码感受。适度封装会写起来舒服很多。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using i128 = __int128;
using ui = unsigned int;
using ull = unsigned long long;
using u128 = unsigned __int128;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const ll inf = 1e18;
template<typename T> T lowbit(T x) { return x & -x; }
template<typename T> void chkMin(T &x, T y) { x = y < x ? y : x; }
template<typename T> void chkMax(T &x, T y) { x = x < y ? y : x; }
constexpr int lg2(ll x) { return 63 ^ __builtin_clzll(x); }
constexpr ll bitCeil(ll x) { return x == 1 ? 1ll : 1ll << lg2(x - 1) + 1; }
int n, k;
pair<ll, ll> pt[MAXN];
vector<int> ord[2];
int top1, stk1[MAXN];
int top2, stk2[MAXN];
int hd1, tl1, Q1[MAXN];
int hd2, tl2, Q2[MAXN];
struct Seg {
ll x, l, r;
};
vector<Seg> vec[2];
int X(int p, int flag) {
return !flag ? pt[p].first : pt[p].second;
}
int Y(int p, int flag) {
return !flag ? pt[p].second : pt[p].first;
}
struct SegTree {
#define ls(p) (p << 1)
#define rs(p) (p << 1 | 1)
struct Node {
ll mn;
int pos;
friend Node operator+(const Node &lhs, const Node &rhs) {
return lhs.mn <= rhs.mn ? lhs : rhs;
}
Node &operator+=(const Node &rhs) {
return *this = *this + rhs;
}
} nd[MAXN << 2];
ll tg[MAXN << 2];
void pushUp(int p) {
nd[p] = nd[ls(p)] + nd[rs(p)];
}
void apply(int p, ll v) {
tg[p] += v;
nd[p].mn += v;
}
void pushDown(int p) {
if (!tg[p]) return;
apply(ls(p), tg[p]);
apply(rs(p), tg[p]);
tg[p] = 0;
}
void build(int p, int l, int r) {
tg[p] = 0;
nd[p] = {inf, l};
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
build(ls(p), l, mid);
build(rs(p), mid + 1, r);
}
void upd(int p, int l, int r, int x, ll v) {
if (l == r) {
nd[p].mn = v;
return;
}
pushDown(p);
int mid = l + r >> 1;
if (x <= mid) upd(ls(p), l, mid, x, v);
else upd(rs(p), mid + 1, r, x, v);
pushUp(p);
}
void add(int p, int l, int r, int x, int y, ll v) {
if (x <= l && y >= r) {
apply(p, v);
return;
}
pushDown(p);
int mid = l + r >> 1;
if (x <= mid) add(ls(p), l, mid, x, y, v);
if (y > mid) add(rs(p), mid + 1, r, x, y, v);
pushUp(p);
}
Node query(int p, int l, int r, int x, int y) {
if (x > y) return {inf, -1};
if (x <= l && y >= r) return nd[p];
pushDown(p);
int mid = l + r >> 1;
Node res = {inf, -1};
if (x <= mid) res = query(ls(p), l, mid, x, y);
if (y > mid) res += query(rs(p), mid + 1, r, x, y);
return res;
}
#undef ls
#undef rs
} sgt;
vector<Seg> comp(int flag, int tp = 0, int v = 0) {
// tp = 1: X > v
// tp = 2: X < v
// tp = 3: Y > v
// tp = 4: Y < v
vector<Seg> res;
for (int i : ord[flag]) {
int x = X(i, flag), y = Y(i, flag);
if (tp == 1 && y <= v) continue;
if (tp == 2 && y >= v) continue;
if (res.empty() || res.back().x != x) res.push_back({x, y, y});
else res.back().r = y;
}
return res;
}
int getPre(const vector<Seg> &vec, int L) {
if (vec.empty()) return -1;
int res = -1;
ll mnY = inf, mxY = -inf;
for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
auto [x, l, r] = vec[i];
chkMin(mnY, l);
chkMax(mxY, r);
if (x - vec[0].x <= L && mxY - mnY <= L) res = i;
else break;
}
return res;
}
int getSuf(const vector<Seg> &vec, int L) {
if (vec.empty()) return 0;
int res = vec.size();
ll mnY = inf, mxY = -inf;
for (int i = vec.size() - 1; i >= 0; --i) {
auto [x, l, r] = vec[i];
chkMin(mnY, l);
chkMax(mxY, r);
if (vec.back().x - x <= L && mxY - mnY <= L) res = i;
else break;
}
return res;
}
bool one(ll L) {
ll mnX = inf, mxX = -inf, mnY = inf, mxY = -inf;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
auto [x, y] = pt[i];
chkMin(mnX, x);
chkMax(mxX, x);
chkMin(mnY, y);
chkMax(mxY, y);
}
return max(mxX - mnX, mxY - mnY) <= L;
}
pair<bool, ll> two(const vector<Seg> &vec, int L) {
if (vec.size() < 2) return {false, 0};
int l = max(getSuf(vec, L) - 1, 0), r = min(getPre(vec, L), (int)vec.size() - 2);
return {l <= r, vec[l].x};
}
tuple<bool, ll, ll> three(const vector<Seg> &vec, int L) {
int sz = vec.size();
if (sz < 3) return {false, 0, 0};
int pre = getPre(vec, L);
if (pre == -1) return {false, 0, 0};
vector<int> suf(sz);
ll mnY = inf, mxY = -inf;
for (int i = sz - 1; i >= 0; --i) {
auto [x, l, r] = vec[i];
chkMin(mnY, l);
chkMax(mxY, r);
suf[i] = vec.back().x - x <= L && mxY - mnY <= L;
}
sgt.build(1, 0, sz - 1);
stk1[top1 = 0] = stk2[top2 = 0] = -1;
hd1 = hd2 = 1;
tl1 = tl2 = 0;
int pt1 = 0, pt2 = 1;
for (int r = 0; r < sz; ++r) {
while (top1 && vec[stk1[top1]].r <= vec[r].r) {
sgt.add(1, 0, sz - 1, stk1[top1 - 1] + 1, stk1[top1], vec[r].r - vec[stk1[top1]].r);
--top1;
}
stk1[++top1] = r;
while (top2 && vec[stk2[top2]].l >= vec[r].l) {
sgt.add(1, 0, sz - 1, stk2[top2 - 1] + 1, stk2[top2], vec[stk2[top2]].l - vec[r].l);
--top2;
}
stk2[++top2] = r;
sgt.upd(1, 0, sz - 1, r, (r ? vec[r - 1].x : 0) + vec[r].r - vec[r].l);
while (hd1 <= tl1 && vec[Q1[tl1]].r <= vec[r].r) --tl1;
Q1[++tl1] = r;
while (hd2 <= tl2 && vec[Q2[tl2]].l >= vec[r].l) --tl2;
Q2[++tl2] = r;
while (pt1 <= r && (vec[r].x - vec[pt1].x > L || vec[Q1[hd1]].r - vec[Q2[hd2]].l > L)) {
if (Q1[hd1] == pt1) ++hd1;
if (Q2[hd2] == pt1) ++hd2;
++pt1;
}
if (vec[r].l != vec[r].r) pt2 = r + 1;
else if (!r || vec[r - 1].l != vec[r - 1].r || vec[r - 1].l != vec[r].l) pt2 = r;
if (!r || r == sz - 1 || !suf[r + 1]) continue;
int l1 = max(pt1, 1), r1 = min(pre + 1, r);
if (l1 > r1) continue;
auto res1 = sgt.query(1, 0, sz - 1, l1, min(pt2 - 1, r1));
auto res2 = sgt.query(1, 0, sz - 1, max(l1, pt2), r1);
++res2.mn;
auto res = res1 + res2;
if (res.mn + 1 < vec[r + 1].x) return {true, vec[res.pos - 1].x, vec[r].x};
}
return {false, 0, 0};
}
pair<bool, tuple<int, ll, ll>> check(int L) {
if (one(L)) return {true, {0, 0, 0}};
if (k >= 2){
auto [ok1, x1] = two(vec[0], L);
if (ok1) return {true, {1, x1, 0}};
auto [ok2, x2] = two(vec[1], L);
if (ok2) return {true, {2, x2, 0}};
}
if (k == 3) {
int p = getPre(vec[0], L);
if (p != -1) {
auto [ok3, x3] = two(comp(1, 1, vec[0][p].x), L);
if (ok3) return {true, {3, vec[0][p].x, x3}};
}
p = getSuf(vec[0], L);
if (p != vec[0].size()) {
auto [ok4, x4] = two(comp(1, 2, vec[0][p].x), L);
if (ok4) return {true, {4, vec[0][p].x, x4}};
}
p = getPre(vec[1], L);
if (p != -1) {
auto [ok5, x5] = two(comp(0, 1, vec[1][p].x), L);
if (ok5) return {true, {5, vec[1][p].x, x5}};
}
p = getSuf(vec[1], L);
if (p != vec[1].size()) {
auto [ok6, x6] = two(comp(0, 2, vec[1][p].x), L);
if (ok6) return {true, {6, vec[1][p].x, x6}};
}
auto [ok7, a7, b7] = three(vec[0], L);
if (ok7) return {true, {7, a7, b7}};
auto [ok8, a8, b8] = three(vec[1], L);
if (ok8) return {true, {8, a8, b8}};
}
return {false, {0, 0, 0}};
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> k;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int x, y;
cin >> x >> y;
pt[i] = {x, y};
}
for (int flag : {0, 1}) {
ord[flag].resize(n);
iota(ord[flag].begin(), ord[flag].end(), 0);
sort(ord[flag].begin(), ord[flag].end(), [&](int lhs, int rhs) {
return X(lhs, flag) != X(rhs, flag) ? X(lhs, flag) < X(rhs, flag) : Y(lhs, flag) < Y(rhs, flag);
});
vec[flag] = comp(flag);
}
ll l = 1, r = 2e9;
tuple<int, ll, ll> ans;
auto [ok1, res1] = check(r);
if (ok1) ans = res1;
while (l < r) {
ll mid = l + r >> 1;
auto [ok, res] = check(mid);
if (ok) {
r = mid;
ans = res;
} else {
l = mid + 1;
}
}
auto [tp, a, b] = ans;
int nk = !tp ? 1 : (tp <= 2 ? 2 : 3);
vector<ll> mnX(nk, inf), mxX(nk, -inf), mnY(nk, inf), mxY(nk, -inf);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
auto [x, y] = pt[i];
int c;
if (!tp) c = 0;
else if (tp == 1) c = x > a;
else if (tp == 2) c = y > a;
else if (tp == 3) c = x <= a ? 0 : (y <= b ? 1 : 2);
else if (tp == 4) c = x >= a ? 0 : (y <= b ? 1 : 2);
else if (tp == 5) c = y <= a ? 0 : (x <= b ? 1 : 2);
else if (tp == 6) c = y >= a ? 0 : (x <= b ? 1 : 2);
else if (tp == 7) c = x <= a ? 0 : (x <= b ? 1 : 2);
else c = y <= a ? 0 : (y <= b ? 1 : 2);
chkMin(mnX[c], x);
chkMax(mxX[c], x);
chkMin(mnY[c], y);
chkMax(mxY[c], y);
}
// 0: (mnX, mnY)
// 1: (mxX, mnY)
// 2: (mnX, mxY)
// 3: (mxX, mxY)
vector<int> ctp;
if (!tp) ctp = {0};
else if (tp == 1) ctp = {1, 0};
else if (tp == 2) ctp = {2, 0};
else if (tp == 3) ctp = {1, 2, 0};
else if (tp == 4) ctp = {0, 3, 1};
else if (tp == 5) ctp = {2, 1, 0};
else if (tp == 6) ctp = {0, 3, 2};
else if (tp == 7) ctp = {1, 1, 0};
else ctp = {2, 2, 0};
for (int i = 0; i < nk; ++i) {
ll L = max({mxX[i] - mnX[i], mxY[i] - mnY[i], 1ll});
if (!ctp[i]) {
cout << mnX[i] << ' ' << mnY[i] << ' ' << L << '\n';
} else if (ctp[i] == 1) {
ll x = mxX[i] - L;
if (tp == 7 && i == 1) chkMax(x, mxX[0] + 1);
cout << x << ' ' << mnY[i] << ' ' << L << '\n';
} else if (ctp[i] == 2) {
ll y = mxY[i] - L;
if (tp == 8 && i == 1) chkMax(y, mxY[0] + 1);
cout << mnX[i] << ' ' << y << ' ' << L << '\n';
} else {
cout << mxX[i] - L << ' ' << mxY[i] - L << ' ' << L << '\n';
}
}
ll f = 3e9;
if (nk < k) cout << f << ' ' << f << ' ' << 1 << '\n';
if (nk + 1 < k) cout << f << ' ' << -f << ' ' << 1 << '\n';
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号