题解：P17206 「DLESS-6」Lost Requiem

\(n\) 是质数，所以 \(a_{(xi+y)\bmod{n}}\) 是 \(a\) 的一个置换。这 \(n(n-1)\) 种置换构成一个群，而满足条件的 \(a\) 相当于是所在轨道中字典序最小的序列，因此题目转化为求轨道个数。

设 \(g(x,y)\) 为对应置换的不动点个数，由 Burnside 引理，所求即为

\[\dfrac{1}{n(n-1)}\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=0}^{n-1}g(x,y) \]

设满足 \(p_i=(xi+y)\bmod{n}\) 的排列 \(p\) 有 \(c(x,y)\) 个置换环，同一个置换环内必须填同一种数，于是 \(g(x,y)=m^{c(x,y)}\)。

考虑如何求出 \(c(x,y)\)。

若 \(x=1,y=0\)，则 \(c(x,y)=n\)。

若 \(x=1,y\neq 0\)，设从 \(i\) 出发走 \(k\) 步会回到 \(i\)，则 \(ky\equiv 0\pmod{n}\)，显然满足条件的最小正整数为 \(k=n\)，因此 \(c(x,y)=1\)。

若 \(x\neq 1\)，考虑 \(t\equiv xt+y\pmod{n}\) 有唯一解。对于任意的 \(i\)，将其表示成 \(i=t+j\)，则 \(x(t+j)+y\equiv t+xj\pmod{n}\)，因此该置换实际上和 \(y=0\) 对应的置换同构。对于 \(i=0\)，显然 \(xi=0\)，这会贡献一个置换环；对于 \(i\neq 0\)，还是设从 \(i\) 出发走 \(k\) 步会回到 \(i\)，则 \(x^k\equiv 1\pmod{n}\)，因此环长为 \(\operatorname{ord}_n(x)\)。加起来得到 \(c(x,y)=1+\dfrac{n-1}{\operatorname{ord}_n(x)}\)。根据经典结论，对于任意的 \(d\mid(n-1)\)，恰好有 \(\varphi(d)\) 个元素的阶为 \(d\)。

综上，答案为

\[\dfrac{1}{n(n-1)}\left(m^n+(n-1)m+n\sum_{\substack{d\mid(n-1)\\d>1}}\varphi(d)m^{1+\frac{n-1}{d}}\right) \]

对 \(n-1\) 做质因数分解，DFS 枚举约数的同时维护 \(\varphi\) 的值即可。时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\sqrt{n}+\tau(n-1)\log{n})\)。

主要代码

int tc, p, n, m;
vector<pii> vec;
mint sum;

mint qpow(mint a, ll b) {
	mint res = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) res *= a;
		a *= a;
	}
	return res;
}

void fac(int n) {
	vec.clear();
	for (int d = 2; (ll)d * d <= n; ++d) {
		if (n % d) continue;
		int cnt = 0;
		while (n % d == 0) {
			n /= d;
			++cnt;
		}
		vec.emplace_back(d, cnt);
	}
	if (n > 1) vec.emplace_back(n, 1);
}

void dfs(int x, int d, int phi) {
	if (x == vec.size()) {
		if (d != 1) sum += phi * qpow(m, (n - 1) / d + 1);
		return;
	}
	
	auto [pr, cnt] = vec[x];
	int pw = 1, ph = 1;
	for (int i = 0; i <= cnt; ++i) {
		dfs(x + 1, d * pw, phi * ph);
		if (i == cnt) break;
		pw *= pr;
		ph = !i ? pr - 1 : ph * pr;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	cin >> tc >> p;
	mint::setMod(p);
	while (tc--) {
		cin >> n >> m;

		fac(n - 1);
		sum = 0;
		dfs(0, 1, 1);

		cout << (qpow(m, n) + mint(n - 1) * m + n * sum) / (mint(n) * (n - 1)) << '\n';
	}
	return 0;
}