【数学】泰勒级数

【数学】泰勒级数

泰勒级数是一种展开函数的方式，可用于将一些无法直接求解的函数转化为无穷个可以简单求解的分量的累加，从而选择性的获取与原近似的结果。一个函数的泰勒级数展开方式如下：

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +\dots \]

其中 \(x_0\) 为自定义的常值，这意味着只要知道任意 \(f(x_0)\) 的结果，求可以对该函数进行泰勒展开，从而使该函数的其他值也变的可解。

特别的当 \(x_0=0\) 时，被称为麦克劳林级数（当其他地方提到泰勒级数时，实际上默认为麦克劳林级数）：

\[f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots \]

求解方法

• 直接展开法：根据泰勒公式的形式直接展开目标函数的泰勒公式。
• 间接展开法：通过对已知其他函数的泰勒公式的计算来获取目标函数的泰勒公式。（如下方求\(\cos\)泰勒级数的备注示例）

朗道符号

https://zhuanlan.zhihu.com/p/472903110

作为无穷级数的泰勒展开不可能全部展开，因此需要一种方式描述被省略的余下展开式。用这些展开式合计的最大值就很好，这样可以清楚的表示省略后的误差。不过也不需要表示的非常清楚，直接省略常量，保留未知数的最高阶即可，类似于计算机中评估算法复杂度的方法。

如：

\(e^x= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\dots\)

也可以写成：

\(e^x= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+O(x^3)\)

常见泰勒级数

一些常见函数的泰勒级数如下：

\(\displaystyle\begin{aligned} e^x &= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\dots\\ &= \sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^n}{n!} \end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned} \sin{x} &=\sin{0}+\frac{\cos{0}}{1!}x+\frac{-sin{0}}{2!}x^2+\frac{-cos{0}}{3!}x^3+\frac{sin{0}}{4!}x^4+\frac{cos{0}}{5!}x^5+\dots\\ &=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\dots\\ &=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned} \cos{x} &=\cos{0}+\frac{-\sin{0}}{1!}x+\frac{-cos{0}}{2!}x^2+\frac{sin{0}}{3!}x^3+\frac{cos{0}}{4!}x^4+\frac{-sin{0}}{5!}x^5+\dots\\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots\\ &=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\ \end{aligned}\)

• 备注：\(\cos\) 的泰勒公式也可用间接法求：

  \( \because \sin'{x}=\cos{x}\\ \begin{aligned} \therefore \cos{x} &=\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)(2n)!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \end{aligned} \)